Mi az alább egyenletre a megoldás. Sin3x+cos3x=gyök alatt 2?

egy kis trükk:

tudjuk, hogy sin(45fok)=cos(45fok)=(gyök2)/2

mivel az egyenlet jobb oldalán gyök2 szerepel, és ismerjük a fenti összefüggést (hiszen (gyök2)/2 + (gyök2)/2 = gyök2), ezért már kis is találhatjuk, hogy:

3x=45fok

x=15fok

vagy másképp:

emeljük négyzetre:

sin^2(3x)+cos^2(3x)+2*sin3x*cos3x=2

1+2*sin3x*cos3x=2

2*sin3x*cos3x=1

sin6x=1

sin6x=sin90

6x=90

x=15

Az ilyen egyenleteknek tipikusan több megoldása is van (periodikusan). Azt tanultátok már?

Ha nem, akkor ne olvasd tovább. Ha igen, akkor az előző válaszok még nem teljesek.

Az első válasz gyakorlatilag találgatáson alapul; nincs azzal semmi baj, de nem könnyű úgy minden megoldást megtalálni.

A második a négyzetre emelés miatt behozhat hamis gyököket, szóval mindet le kellene ellenőrizni...

Mutatok egy harmadik megoldást is.

Ha egy szög (most α=3x) szinuszának és koszinuszának valamilyen összege szerepel (A·sinα + B·cosα), azt át lehet alakítani egy másik szög szinuszára ez alapján:

sin(α+β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ

C·sin(α+β) = C·sinα·cosβ + C·cosα·sinβ

A szinusz együtthatója C·cosβ, a koszinuszé pedig C·sinβ. Most:

C·cosβ = 1

C·sinβ = 1

Ezek hányadosa:

tg β = 1

vagyis β = π/4

C értéke pedig:

C·sin π/4 = 1

C·√2/2 = 1

C = √2

Vagyis ez lett az eredetiből:

C·sin(α + β) = √2

√2·sin(3x + π/4) = √2

sin(3x + π/4) = 1

3x + π/4 = π/2 + 2kπ, ahol k ∈ ℤ

3x = π/4 + 2kπ

x = π/12 + 2k·π/3

(Fokokban írva 15°, 135°, 255° és ezek ismétlődnek ±360 fokonként.)

---

Megjegyzés:

A második megoldásból ez jönne ki:

sin 6x = 1

6x = π/2 + 2kπ, ahol k ∈ ℤ

x = π/12 + k·π/3

ami fokokban ezeket jelenti: 15°, 75°, 135°, 195°, 255°, 315° és ezek ismétlődnek ±360 fokonként

Minden második hamis gyök, a négyzetre emelés miatt jött be.