Binér relációk gyakorlatiasabban?

Na, kis késéssel, de itt vagyok (egyébkén a vizsgám jól sikerült, köszönöm) :)

az xRy jelenthet oszthatóságot, egyenlőséget, ilyesmit... kissé pongyola fogalmazással, de végülis igen, egy xRy reláció bármit jelenthet, amivel valamilyen feltétel alapján egymáshoz rendelhetjük két halmaz elemeit. Például a függvények is relációk, csak ahelyett, hogy xRy azt mondjuk, hogy f(x)=y, ugyanúgy azt jelenti, hogy az x és y az f függvény szerint relációban állnak egymással... nagyjából, a függvényekre érvényes néhány szűkítés, de ez most mellékes :D

Tranzitivitás (xRy, yRz => xRz), reflexivitás (∀x: xRx) akkor megy, ezek egyszerűbb fogalmak. Kezdjük akkor a kiterjesztés/leszűkítéssel:

Legyen ϱ (ró) egy reláció. Legyen σ (szigma) egy másik reláció, és legyen σ⊂ϱ (σ valódi részhalmaza ϱ-nak). Ekkor mondjuk, hogy σ leszűkítése az ϱ-nak, vagy ϱ kiterjesztése a σ-nak. Ugye a relációk lényegében számpárokat tartalmazó halmazok, azokat a számpárokat tartalmazzák, amik relációban állnak egymással. Így érthető, mit értünk azalatt, hogy σ⊂ϱ. σ egy részét tartalmazza azoknak a számpároknak, amiket ϱ tartalmaz.

Mondjuk még azt, hogy egy reláció leszűkítése egy H halmazra, (ϱ|H). Ez ϱ azon (a,b) elemeit tartalmazza, ahol "a" eleme a H halmaznak.

(ϱ|H={(a,b)|a∈H, (a,b)∈ϱ}

Példa: osztója, x|y reláció akkor áll fenn, ha y osztható x-el maradék nélkül. Ezt ZxZ-n értelmezzük, tehát az egész számok halmazából választjuk az elemeket. Így pl 1|3, 2|(-6), (-3)|12, stb. Ha azt mondom, hogy nézzük csak a természetes számok közül az osztókat, tehát NxZ-n, akkor az az "osztója" reláció leszűkítése N-re, aminek továbbra is eleme pl az 1|3, vagy a 2|(-6), de nem eleme a (-3)|12 például. Ha fordítva nézzük, akkor a ZxZ-n értelmezett "osztója" reláció kiterjesztése az NxZ-n értelmezettnek.

Kiterjesztés-leszűkítés ellentétes fogalmak, ha A leszűkítése B-nek, akkor B kiterjesztése A-nak, szóval ezt könnyű megjegyezni :D

Következő, inverz: rém egyszerű igazából, egy ϱ AxB-n értelmezett reláció ϱ^(-1) -nek jelölt inverze egy olyan BxA-n értelmezett reláció, aminek (b,a) akkor eleme, ha ϱ-nak (a,b) eleme. Formálisan: ϱ^(-1)={(b,a)∈ BxA |(a,b)∈ϱ}

Tehát megfordul az egész, ha ϱ eleme volt egy (a,b) számpár, ahol a∈A és b∈B, akkor ϱ^(-1) eleme lesz (b,a) számpár, ahol szintén b∈B és a∈A.

Kompozíció: Két reláció kompozíciója (továbbra is legyen σ és ϱ) avagy σ o ϱ, ahogy jelölni szokták.

Előszöris: ϱ legyen részhalmaza AxB-nek, σ pedig BxC-nek. Ekkor a σ o ϱ kompozíción egy olyan relációt értünk, ami AxC részhalmaza, és aminek elemei olyan (a,c) számpárok, ahol létezik olyan b∈B elem, hogy (b,c)∈ ϱ és (a,b) ∈ σ. Figyeld meg, hogy nem ϱ o σ, hanem fordítva, σ o ϱ sorrendben írtam, ugyanis a kompozíciót úgymond visszafelé kell nézni. Először veszed a ϱ relációt, azoknak az elemeit, amik (b,c) számpárok lesznek. Majd a σ reláció elemeiből hozzárendeled azokat az elemeket, amik (a,b) alakúak, tehát a számpár második eleme megegyezik a ϱ reláció valamely számpárjának első elemével. Így az σ o ϱ kompozíció elemei lesznek azok az (a,c) számpárok, ahol amiknél volt ilyen "köztes" b.

Formálisan: σ o ϱ = {(a,c)∈AxC |∃b∈B:(aσb és bϱc)}

Ezt függvényeknél könnyebb talán megérteni, ahol két függvény kompozíciója (f o g) f(g(x))-el egyenlő, tehát végrehajtjuk g(x)-et, majd az így kapott eredményt továbbadjuk f-nek. Pl g(x)=2x és f(x)=x^2, ekkor f o g kompozíció: f(g(x))= f(2x)= (2x)^2 = 4x^2. Ha fordítva csinálnánk, g(f(x))= g(x^2)=2x^2 jönne ki, tehát fontos nem keverni a kompozíció sorrendjét: jobbról balra értékeljük ki :)

Shit, a kompozíciós szöveg elején σ részhalmaza AxB-nek és ϱ BxC-nek.. elírtam :/

Halmaz képe és inverz képe... ezek a fogalmak már nem kimondottan relációkra, hanem függvényekre vonatkoznak, tudomásom szerint. Tehát ehhez a függvényeket is ismerni kell :D

A függvények mint már mondtam, szintén relációk, csak él rájuk némi megszorítás: míg pl egy "osztója" relációnál fennállhat az, hogy x|y és x|z ahol x nem egyenlő z, pl 3|6 és 3|9. A függvényeknél viszont ha AxB-n értelmezzük, akkor minden a∈A elemre legfeljebb 1 b∈B elem tartozhat. Magyarul a függvény minden bemeneti elemre legfeljebb 1 kimeneti elemet ad (vagy egyet sem, ha az adott elemre nincs értelmezve). Továbbá a függvények saját jelöléssel bírnak, most már nem azt fogjuk mondani, hogy aRb, hanem f(a)=b, azaz az f függvény (reláció) a helyen felvett értéke b. Ez kicsit áthelyezi a hangsúlyt,a relációknál a hangsúly azon volt, hogy van-e reláció két elem között, illetve mely két elem között létezik reláció, a függvényeknél már leginkább azt nézzük, hogy az "a" elem-hez milyen "b" társul f szerint. Ugyanígy nem azt mondjuk, hogy f részhalmaza AxB, hanem f∈A->B illetve f:A->B. Az f∈A->B jelölés azt jelenti, hogy f A-beli elemekre van értelmezve, nem feltétlenül az egész A halmazra, és B-beli elemeket ad értékül. Az f:A->B jelölés ugyanakkor azt jelenti, hogy f MINDEN A-beli elemre értelmezve van, és B-beli elemeket ad eredményül (nem feltétlenül mindet).

Pl: f∈N->Q, f(x)=1/x esetben x természetes szám lehet, míg 1/x racionális, viszont nem feltétlenül van f minden x∈N-re értelmezve, például x=0 esetében 1/0 lenne, nullával osztás meg nincs értelmezve. Tehát itt Df részhalmaza N-nek, de nem feltétlenül egyenlő vele. (Df az f értelmezési tartomány - ahonnan az x-ek kerülnek ki)

Ha viszont azt mondjuk, hogy f:N->Q f(x)=1/x, akkor ez egy hibás függvénydefiníció, mert ez azt jelenti, hogy MINDEN x∈N-re értelmezve kell legyen f, de x=0-ra mint tudjuk, nem értelmezhető. Itt Df-nek egyenlőnek kell lennie N-el.

És akkor a képről: A függvény (vagy halmaz) képe kicsit a leszűkítéshez hasonlít, csak függvényekre értelmezve.

Adott egy f∈A->B függvény, és egy H halmaz, ami részhalmaza A-nak. Akkor az H halmaz f szerinti képe azon f(x) értékek halmaza, amelyekre x∈H∩Df, tehát x eleme H-nak és f értelmezési tartományának is (fontos mindkettőt kimondani, mert attól, hogy valami eleme H-nak, még nem biztos, hogy eleme Df-nek is, mivel f∈A->B nem f:A->B). Az így kapott értékek részhalmazát alkotják Rf-nek (f értékkészlete), ami pedig részhalmaza B-nek.

Formálisan: f[H]={f(x) | x∈H∩Df}⊆ Rf ⊆ B

Tehát f[H], avagy a H halmaz f általi képe azokat az értékeket tartalmazza, amit f H-ból tud képezni.

Inverzkép, más néven őskép ennek a megfordítása. továbbra is f∈A->B, de itt nem egy H⊆A halmazt adunk meg, hanem egy H⊆B halmazt, és a H halmaz f által létesített ősképén azokat az x∈Df elemeket értjük, amikre f(x)∈H. Tehát itt nem a H-ból, hanem a H-ba képzünk az f függvénnyel, és az ősképpel azokat az elemeket kapjuk meg, amikből az f H-ba tud képezni.

Formálisan: f^(-1)[H]={x∈Df | f(x)∈H}⊆ Df ⊆ A

Természetesen itt sem garantált, hogy H minden elemébe képezni tud az f függvény, mivel Rf nem (feltétlenül) egyenlő B-vel.

Röviden-tömören:

- H halmaz f szerinti KÉPE: ahova f H-ból tud képezni.

- H halmaz f szerinti ŐSKÉPE: ahonnan f H-ba tud képezni.

Fontos, hogy ha f∈A->B, akkor az A és B halmazokból semmiképp nem lépünk ki, minden x∈A és minden f(x)∈B képben és ősképben IS.

Remélem így érthetőbb a történet, kicsit hosszúra sikeredtek az irományok.. bocsi :D

"...míg pl egy "osztója" relációnál fennállhat az, hogy x|y és x|z ahol y nem egyenlő z..."*

újabb elírás, át kéne olvasnom, mielőtt elküldöm :D