Valaki segít matekból? (Viéte-formulák) Határozzuk meg a -2x^2+6x-4=0 egyenletre nézve a gyökök négyzetének különbségét!

A gyökök különbségére nem túl jó Viete-formulát használni, aminek az az oka, hogy x1-x2 és x2-x1 nem egyenlő.

Így ha Viete formulával akarnád kibányászni, akkor az egyrészt macerás, másrészt 2 megoldást kéne felírni.

Viete formulát akkor éri meg használni, ha egy megoldás van, és a kérdezett eredmény könnyen kikeverhető az x1*x2 és (x1+x2)-ből.

Pl x1^2+x^2 ilyen.

Ha külön kéri a feladat, hogy azt használd, akkor persze nincs mit tenni :)

Jelen esetben ha elosztod az egyenlet mindkét oldalát -2-vel:

x^2-3x+2=0

Beírom a megoldóképletbe:

x1,2 = [3+-gyök(9-4*2)] / 2 = [3+-1]/2

x1=2

x2=1

Az gyökök négyzetének különbsége 3 vagy -3.

Megoldóképlettel ez 3 sor volt. Viete formulával meg minimum fél oldalon keresztül pakolászhatod a betűket mire kijön.

Feladat: a -2x² + 6x - 4 = 0 egyenlet gyökei négyzetének különbségét meghatározni a Viete-formulák segítségével.

Megnyugtatlak, nincs szükség fél oldalnyi pakolászásra, egy kis gondolkodással sok munka megspórolható. :-)

A jelszó: Többet ésszel, mint ész nélkül!:-)

Emlékeztetőül a másodfokú egyenlet esetén a Viete-formulák

x1 + x2 = -b/a

x1*x2 = c/a

A példa adataival

-b/a = 3

c/a = 2

Ezzel a kiinduló két egyenletünk

x1 + x2 = 3

x1*x2 = 2

Az első egyenletet négyzetre emelve, a másodikat néggyel szorozva kapjuk

x1² + 2*x1*x2 + x2² = 9

4*x1*x2 = 8

Az elsőből kivonva a másodikat lesz

x1² - 2*x1*x2 + x2² = 1

A bal oldal teljes négyzet így írható., hogy

(x1 - x2)² = 1

Mindkét oldalból gyököt vonva kapjuk

x1 - x2 = ±1

E mellé véve az első eredeti egyenletet van egy új egyenletrendszerünk

x1 - x2 = ±1

x1 + x2 = 3

Ezekből számítható lenne a két gyök, de nekünk a gyökök négyzetének különbsége kell, azaz

K = x1² - x2²

összeget kell meghatározni. Ehhez viszont nincs szükségünk a gyökökre!

Az egyik nevezetes szorzat szerint

K = (x1 - x2)(x1 + x2)

A jobb oldal mindkét tényezője már rendelkezésre áll, csak be kell helyettesíteni, így a végeredmény

K = ±1*3

vagyis

K = ±3

=====

Kicsit hosszabb így, mint a megoldóképlettel, de azt hiszem, nem annyira bonyolult, mint az első válaszoló sugallta. :-)

DeeDee

**********