Feladat hatvány, gyök, logaritmus témakörben?

3^(x+1)-6*3^(-x)=7

Innen indulunk. Én azt csinálnám, hogy felírom a jobboldali számot is a baloldalihoz hasonlóan, a 3 valamely hatványát kiemelve:

3^(x+1)-6*3^(-x)=3^2-2*(3^0)

Most a bal oldalt rendezgetem úgy, hogy kihozom a 3-ast amiből csak tudom:

3^(x+1) - 2*3*3^(-x)=3^2 - 2*(3^0)

3^(x+1) - 2*(3^(-x+1))=3^2 - 2*(3^0)

Mindkét oldal 3^a - 2* 3^b alakon van, így most elővehetjük azt, hogy az exponenciális fv monotonitása miatt a két oldalon megegyeznek a kitevők, tehát:

(x+1)=2 és (-x+1)=0. És mindkét esetben kijön, hogy:

x=1 és x=1

Tehát x=1, visszahelyettesíthetsz, hogy tényleg egyeznek-e :D

Amikor ilyen összeadás-kivonást kell exponenciális fv-ekkel csinálni, akkor a fontos az, hogy mindkét oldalon ugyanazt az alakot próbáld kihozni, ami azt jelenti, hogy azonos művelet, azonos alapokkal, azonos konstans-szorossal jöjjön elő mindkét oldalon. Ha ez mind egyezik, akkor a kitevőknek is kutya kötelességük egyezni, és meglesz a megoldás :)

Nagyon szép, részletes választ kaptál.

Ebben a témakörben kidolgozott feladatokat itt is találsz:

[link]

Középiskolában ezt úgy szoktuk megoldani, hogy bevezetünk egy új ismeretlen. 3^x "kétszer" is szerepel, így az lehet az érzésünk, hogy erre kell majd rendezni. És valóban.

3*3^x - 6 * 1/(3^x) = 7

Ha most 3^x = a >0 jelölést bevezetjük:

3a - 6/a = 7

Szorozva a-val

3a^2-7a-6=0

Vagyis sikerült másodfokúra visszavezetni, amit már könnyedén meg tudunk oldani.

a=3 vagy a=-2/3

Utóbbi nem jó, mert 3^x csak pozitív lehet.

3=3^x

x=1 az egyetlen megoldás.