Segítene valaki légyszi a matek feladatokban? Trigonometrikus egyenletekről lenne szó.

cos x = ½ ⋅ ctg x

kifejtés

cos x = ½ ⋅ (cos x / sin x)

nullára rendezés (- cos x)

0 = ½ ⋅ (cos x / sin x) - cos x

½ ⋅ (cos x / sin x) - cos x = 0

Szorzás az összeadásra nézve asszociatív (cos x kiemelése)

cos x ⋅ [½ ⋅ (⅟sin x) - 1] = 0

cos x ⋅ (⅟2sin x - 1) = 0

Szorzat pontosan akkor lehet nulla, ha valmelyik tényezője nulla

cos x = 0

VAGY

⅟2sin x - 1 = 0

cos x = 0

VAGY

⅟2sin x = 1

1-nek csak az 1 reciproka, más nem, tehát ha 2⋅sin x reciproka 1, akkor maga 2⋅sin x is szükségszerűen 1 kell hogy legyen

cos x = 0

VAGY

2⋅sin x = 1

cos x = 0

VAGY

sin x = ½

x = ½⋅π + k⋅2⋅π, vagy ³/₂⋅π + k⋅2⋅π, ahol k ∈ ℤ

VAGY

x = ⅙⋅π + k⋅2⋅π vagy ⅚⋅π + k⋅2⋅π, ahol k ∈ ℤ

Az elsőnél lehet tenni egy kis összevonást (nem fontos):

x = ½⋅π + k⋅π (FIGYELEM, itt π a periódus, nem 2⋅π)

VAGY

x = ⅙⋅π + k⋅2⋅π vagy ⅚⋅π + k⋅2⋅π, ahol k ∈ ℤ

Mit szól a Wolfram Alpha?

[link]

Nagyon szívesen, én is örülök, hogy újra megnézhettem a trigonometrikus egyenlőségek világát.

sin x / tg x = ½

sin x / (sin x / cos x)

Itt egy

x / (x / y)

alakú törtről van szó. Mit is jelent az, hogy x / y? Hát azt a számot, amivel y-t meg kéne szoroznom, hogy x legyen az eredmény. (Persze 0 értékű y eseténe ennek nincs értelme) No most

x / ,,az a szám, amivel y-t meg kéne szoroznom, hogy x legyen az eredmény''

azonban tudom, hogy éppen y az a szám, amivel ezt a bizonyos számot megszorozva x-et kapok! Tehát

x / (x / y) nem más, mit éppen y

Ez az azonosság azonban csak akkor jön szóba, ha y nem 0, és arra is figyelni kell, hogy x / y se lehessen 0. Mert ha ez megtörténik, akkor az azonosság baloldala értelmetlenné válik (a jobboldal továbbra is értelmes marad).

No, most már könnyen visszatérhetünk a példához

sin x / (sin x / cos x) nem más, mint cos x.

azonban ezt az azonosságot csak akkor használhatom ki, ha cos x nem 0, és arra is figyelnem kell, hogy tg x se lehessen nulla. Ha ezt az ellenőrzést elmulasztom, akkor ,,hamis megoldások'' is be fognak csúszni.

(A fordított irányú nyűg itt nem fenyeget, tehát attól ENNÉL A PÉLDÁNÁL nem kell félnem, hogy ne kapnám meg az összes megodást. Minden megoldást kiad az egyszerűsített képlet, nem marad ki semmi, de túlbuzgó módon becsúsztat néhány hamisat is)

cos x = ½

...

Meg kell vizsgálni, hogy az így kapott megoldások közül melyek azok, amelyek nem sértik a kikötést.

No most megkéárdezzük megint a Wolfram Alpha-t:

[link]

Érdekes, a Wolfram Alpha azt mondja, hogy valójában nem is csúsznak be hamis megoldások. Úgy látszik, ilyen szerencsés esetünk volt ennél a példánál. Általában azonban, ha az x / ( x / y) = y azonosságot használjuk ki (balról-jobbra irányban), akkor gondolni kell arra, hogy hamis megoldások is becsúsznak. (Ha meg fordított irányban használjuk ki ezt az azonosságot, akkor pedig megoldásokat vesztünk, tehát az ,,elvesző'' megoldásokat külön nyilván kell tartani)

cos²x - sinx = 1

Használjuk ki a Pitagorasz-tételt:

cos²x + sin²x = 1

úgy értem, kissé átalakítva:

cos²x = 1 - sin²x

No már megvan a lényeg, ezt fogjuk kihasználni a példában.

cos²x - sin x = 1

(1 - sin²x) - sin x = 1

-sin²x - sin x = 0

sin²x + sin x = 0

sin x ⋅ (sin x + 1) = 0

Ha valaki így jobban szereti, egy pillanatra úgy képzeljük, hogy sin x is valami önálló, független dolog

y jelölje azt, hogy sin x

y ⋅ (y + 1) = 0

megoldjuk, és az eredményt visszaírjuk.

Bár erre most nincs is szükség, mert eléggé egyszerű alakja van az egyenletnek enélkül is. Szóval maradjunk annál, hogy

sin x ⋅ (sin x + 1) = 0

sin x = 0

VAGY

sin x = -1

x = k⋅π (FIGYELEM, itt π a periódus, nem 2⋅π), ahol k ∈ ℤ

VAGY

x = -½⋅π + 2⋅π⋅k, ahol k ∈ ℤ

ahol

No most ezt megoldjuk

Wolfram Alpha:

[link]