Leírja valaki a helyes választ? (Matematika 9. osztály)

{}-ban/ben inkább a hatványkitevők vannak :) A hatványkitevőket pedig így szoktuk jelölni: ^, például 5^3=5*5*5=125.

A feladat: írjuk át az alapokat prímszámok szorzatává:

2=2, ez nem volt nehéz.

25=5*5=5^2, ez sem volt túl bonyolult.

125=5*5*5=5^3, ez is a könnyű kategóriát erősíti.

Tehát a tagokat így fel tudjuk írni:

2^2007*(5^3)^354*(5^2)^(200)

Hatvány hatványozása esetén a kitevők szorzatára emeljük az alapot: (a^n)^k=a^(n*k), tehát

=2^2007*5^(3*354)*5^(2*200)=2^2007*5^(1062)*5^(400)

Azonos alapú hatványok szorzásánál az alapot a kitevők összegére emeljük: a^n*a^k=a^(n+k), ezért

=2^2007*5^(1062+400)=2^2007*5^1462

Az előző azonosságot használjuk a 2-esre is, viszont most szétbonjuk:

=2^1462*2^545*5^1462

Egy másik azonosság szerint, ha a kitevők azonosak, akkor az alapok szorzatát hatványozzuk: a^n*b^n=(a*b)^n, így

(2*5)^1462*2^545=10^1462*2^545

Ez a szám 1462-szer osztható 10-zel, és az oszthatósági szabályok alapján emiatt 1462 darab 0-ra fog a szorzat végződni.

125 = 5 {3}

125{354} = (5{3}){354} (kitevőket össze kell szorozni, mert hatványt úgy hatványozunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emelem)

Tehát 125{354} = 5{1062}

25 = 5{2}

25{200} = (5{2}){200} = 5{400}

Azonos alapú hatványok szorzása: A közös alapot a kitevők összegére emelem, tehát:

5{1062} * 5{400} = 5{1062+400} = 5{1462}

Tehát az egyenlet eddig

2{2007} * 5{1462}

Ahogy az előbb az 5-ösök kitevőit összeadtuk, most a 2-esek kitevőit 2 részre szedjük, hogy egyszer legyen 1462, egyszer pedig a maradék, vagyis 2007-1462=545 a kitevő, tehát:

2{1462} * 5{1462} * 2{545}

Azonos kitevőjü hatványok szorzása: Az alapok szorzatát a közös kitevőre emelem, tehát:

2{1462} * 5{1462} = (5*2){1462} = 10{1462}

Maradt: 10{1462} * 2{545}

Ez már majdnem olyan, mint a normál alak:

Ezt úgy értem, hogy meg tudjuk vizsgálni, hogy a szám eleje az a 2{545}-en és ezt követi 1462 db 0.

De röviden még azt is meg kell vizsgálni, hogy a 2 hatványa végződhet-e 0-ra. Megállapíthatjuk, hogy 2 hatványainak végződése: 2, 4, 8, 6, 2 ...

Szóval 2 hatványa nem végződhet 0-ra, így a szám végén 1462 db 0 van.

Érthetően sikerült leírnom? :)