Mekkora sebességgel ütközik a gépkocsi egy kikerülhetetlen akadálynak?

nem tudjuk a kezdeti sebességet..

amúgy meg s=v0*t+(a/2)*t^2

v_0:kezdősebesség

a: gyorsulás

t: idő.

A pontos képlet: s= v_0t_r+v_0t+\frac{at^2}{2}, ahol t_r a reakcióidő.

Lássuk, mekkorát koppanhat a száguldozó autós. :-)

Legyen

S0 = 70 m - az akadály távolsága az észlelés pillanatában

v0 = 90 km/h = 25 m/s - jármű sebessége

a = -5,7 m/s² - a jármű lassulása

tr = 1, 0,9, 0.8 sec - reakcióidők

v = ? - az ütközési sebeség

A megoldás gondolatmenete:

A lassulásos mozgással befutott útszakasz hosszából és a gyorsulás (lassulás) ismeretében meghatározható a lassulás ideje, ezzel pedig számítható a lassulásos szakasz végén még meglevő sebesség.

Mivel reakcióidőkkel kell számolni, a lassulásos útszakasz hossza rövidebb az észlelés pillanatában meglevő távolságnál, hiszen a lassítás (fékezés) csak a reakcióidő letelte után kezdődik.

A reakcióidő alatt a jármű az addigi egyenletes sebességgel mozog, ezért ez az úthossz

Sr = v0*tr

Így a lassulásos szakasz hossza

S = S0 - v0*tr

A lassulásos szakaszra az ismert összefüggés érvényes, miszerint

S = v0*t + a*t²/2

Mivel a feladatban lassulás van, a gyorsulás előjele negatív, ezért

S = v0*t - a*t²/2

Ebben az egyenletben csak az idő (t) ismeretlen, amit a t-re nézve másodfokú összefüggésből az ismert megoldó képlettel lehet meghatározni.

Átrendezve az egyenletet

0 = a*t²/2 - v0*t + S

A gyökök

t1,2 = [v0 ±√(v0² - 2*a*S)]/a

Az idő ismeretében a lassulás végén a sebesség:

v = v0 - a*t

Az idő értékét behelyettesítve, egyszerűsítés, összevonás után marad

v = ±√(v0² - 2*a*S)

Ennek csak a pozitív gyöke lehet megoldás, tehát a sebesség

v = √(v0² - 2*a*S)

Mivel a reakció időtől való függés vizsgálata a cél, egy kis átalakítást végzünk a gyök alatti mennyiségen.

Behelyettesítve a lassulásos szakasz hosszának fenti képletét lesz:

v0² - 2*a*S = v0² - 2*a(S0 - v0*tr)

Felbontva a zárójelet és csoportosítva a tagokat

= (v0² - 2a*S0) + (2a*v0)*tr

Ha az állandókat elnevezzük

A = v0² - 2a*S0

B = 2a*v0

akkor a következő alakú összefüggés kapjuk:

v0² - 2*a*S = A + B*tr

Vagyis az ütközési sebességet a

v = √(A + B*tr)

===========

alakú, egyszerű összefüggéssel számolhatjuk.

A feladat adataival az állandók

A = v0² - 2a*S0 = 25² - 2*5,7*70 = -173

B = 2*5,7*25 = 285

Ezekkel az ütközési sebesség formulája

v = √(-173 + 285*tr)

ill. megfordítva a két tagot

v = √(285*tr - 173)

=============

Pl.:

tr = 1 sec esetén

v = √(285 - 173) = √112

v ≈ 10,583 m/s ≈ 38,1 km/h

A többi behelyettesítését rád bízom. Látni fogod, hogy a reakcióidő csökkenésével az ütközési sebesség is csökken.

Felmerülhet a kérdés, mekkora reakcióidő esetén állna meg a jármű éppen az akadály előtt?

Ez azt jelenti, hogy az ütközési sebesség nulla, ami akkor áll fenn, ha a gyök alatti mennyiség nulla.

Vagyis

285*tr - 173 = 0

ebből

tr = 173/285

tr ≈ 0,61 sec

Ha egyéb kérdés is felmerül, írj nyugodtan.

DeeDee

**********