Mi ennek a matek példának a megoldása levezetéssel? 4edfokú vagy miaszösz

Ez egy szimmetrikus egyenlet, mert ha sorba felírod az együtthatóit: 2, -9, 14, -9, 2, akkor visszafele olvasva ugyanúgy vannak, mint előre felé olvasva.

Ilyenkor, mivel az x = 0 nem lehet megoldás (ugye a konstans együttható nem 0, vagy ha az lenne, akkor a főegyüttható is az a szimmetria miatt, akkor meg eggyel kisebb fokú az egyenlet), elosztjuk 2*x^2-tel az egyenletet:

x^2 - 9/2*x + 7 - 9/2/x + 1/x^2 = 0.

Az azonos együtthatójú tagokból kiemeljük az együtthatót:

(x^2 + 1/x^2) - 9/2*(x + 1/x) + 7 = 0.

És most jön a nagy trükk, észrevesszük, hogy

(x + 1/x)^2 = x^2 + 1/x^2 + 2,

azaz

(x^2 + 1/x^2) = (x + 1/x)^2 - 2,

ha (x + 1/x)-et y-nal jelöljük,

(x^2 + 1/x^2) = y^2 - 2.

Ezt helyettesítve az egyenletünkbe:

y^2 - 2 + 9/2*y + 7 = 0.

Ami egy sima másodfokú egyenlet, és meg tudod oldani. Ha pedig megvan az y, akkor a x + 1/x = y egyenlet x-re nézve szintén másodfokú lesz. Így lesz meg a négy megoldásod.

Igen, az y-ra vonatkozó egyenletet valóban elírtam, helyesen

y^2 - 9/2*y + 5 = 0.

A zárójelre vonatkozó kérdést nem értem. Pontosan melyik zárójelről van szó? Amúgy lehet, hogy csak magyarázó/áttekinthetőséget javító céllal tettem ki.

A másodfokú egyenlet általános megoldása megy?

Most nézem, hogy a privát üzenetedben mást is kérdeztél.

> „(x + 1/x)^2 = x^2 + 1/x^2 + 2, éss itt mi az a +2”

(x + 1/x)^2 = (x + 1/x)*(x + 1/x), ez a négyzetre emelés definíciója. Bontsuk fel a második zárójelet, (ugye a*(b + c) = a*b + a*c, itt most a = x + 1/x, b = x és c = 1/x):

(x + 1/x)*x + (x + 1/x)*1/x.

De az is igaz, hogy (a + b)*c = a*c + b*c, (itt most a = x, b = 1/x és az első tagnál c = x, a másodiknál c = 1/x), tehát ez a kifejezés

x*x + 1/x*x + x*1/x + 1/x*1/x = x^2 + 1 + 1 + 1/x^2 = x^2 + 2 + 1/x^2, és így jött be a +2.

(Ha szeretnéd megpróbálhatom magyarázni, hogy a*(b+c) = a*b + a*c, de azt csak ilyen szemléletesen tudom, hogy ha veszel 2 (macskát és kutyát), akkor 2 macskád és 2 kutyád lesz (itt most a = 2, b = macska, c = kutya).)

> „és utána miért lesz -2”

Ugye az előbb arra a „tételre” jutottunk, hogy

(x + 1/x)^2 = x^2 + 1/x^2 + 2,

aztán az (x + 1/x)-et elneveztük y-nak, és az volt a bajunk, hogy nem tudtuk mit írjunk az egyenletben az (x^2 + 1/x^2) helyére, ha csak y-t szabad használunk. Szóval írjuk be y-t a tételünkbe:

y^2 = (x^2 + 1/x^2) + 2,

nekünk meg a most zárójelbe tett részt kell kifejeznünk y-nal, tehát az (x^2 + 1/x^2) az ismeretlen (ez amúgy egy első fokú egyenlet). Az egyenlőség két oldalát megcserélve

(x^2 + 1/x^2) + 2 = y^2.

2-őt kivonva

(x^2 + 1/x^2) = y^2 - 2.

Így lett az a kettő -2.

Az y-ra vonatkozó egyenlet diszkriminánsát amúgy eltaláltad.

Ha valóban érted, akkor megkérhetlek, hogy vezesd le nekem (nem kell olyan részletesen, mint én csináltam) ennek az egyenletnek a megoldását?

3*x^4 + 6*x^3 - 45*x^2 + 6*x + 3 = 0.

Ha érted, akkor szerintem gyorsan megleszel, ha nem van még valami, amit nem értesz, az meg ugyanolyan gyorsan kiderül. (Ne ijedj meg, ha a végeredmény nem egész, szabad benne gyökjelet hagynod. Ugye valami négyzetgyökét egyszerűen írhatod itt gyök(valami)-nek.)

Szívesen, de azért még várok 4 megoldást az alábbi egyenletre, mert úgy érzem, hogy eddig csak én dolgoztam.

3*x^4 + 6*x^3 - 45*x^2 + 6*x + 3 = 0.