Szorozzuk össze a 2 első száz pozitív egész kitevőjű hatványát. Hány jegyű az így kapott 1^1*2^2. *2^100-on szám?

Gondolom csak elírtad az elsőt, az is 2^1.

2^1 · 2^2 · 2^3 · ... · 2^100

Azonos alapú hatványok (most az alap a 2) szorzatát megkapjuk egyetlen hatványként, ha a kitevőket összeadjuk:

2^(1+2+3+...+100)

Ez most már számtani sorozatos feladat: a kitevő egy számtani sorozat összege. Ez gondolom kijön gyorsan, hogy 5050.

Kellene tehát 2^5050 számjegyeinek a száma.

Ez túl nagy szám ahhoz, hogy számológéppel ki lehetne számolni, valamit még trükközni kell.

Ez a trükk pedig a logaritmus lesz: egy 100...00 alakú szám (egy 1-es után sok 0) 10-es alapú logaritmusa éppen a nullák számát adja. Annál 1-gyel több a számjegyek száma. Ha nem olyan alakú a szám, akkor pedig a 10 alapú logaritmusa nem egész szám lesz, de ha azt felfelé kerekítjük egésszé, kiadja a számjegyek számát.

Mondjuk:

lg 10 = 1, ebben 1 nulla van, 2 jegyű

lg 20 = 1,301 → felfelé kerekítve 2

lg 99 = 1,996 → felfelé kerekítve 2

lg 100 = 2 (ebben 2 nulla van), 3 jegyű

Szóval ezt kell kiszámolni:

lg 2^5050

Ezt még mindig nem tudjuk számológéppel kiszámolni, mert túl sok lenne a 20^5050. Viszont hatvány logaritmusára tanultatok szabályt:

lg 2^5050 = 5050 · lg 2

azt meg már számológéppel ki lehet számolni, számold ki és kerekítsd felfelé.

Akkor marad a wolfram alpha, az tud ilyen nagy számokkal is számolni:

[link]

Kiírja a végén, hogy hány jegyű lett a szám.

Nem kell feltétlenül logaritmus. Nézd végig, hogy hogyan változik a kettőhatványok számjegyeinek száma:

2^0, 2^1, 2^2, 2^3 egyjegyű

2^4, 2^5, 2^6 kétjegyű

2^7, 2^8, 2^9 háromjegyű... Tehát becsülhetjük, hogy minden 3-mal osztható kitevőnél lesz egy új számjegy. Innentől csak az kell, hogy 5050-ben hányszor van meg a 3, és megvan a számjegyek száma közelítőleg. Nem olyan pontos, mint a logaritmusos (bár az is inkább becslés), de elemi eszközökkel számolható.

A logaritmus nem becslés, az felfelé kerekítve teljesen pontosan megadja a számjegyek számát.

A kettő hatványos dologhoz annyit tennék hozzá, ha már szóba került, hogy a számítógépek környékén ismert elnevezés a kilobit. A 'kilo' normálisan ezret jelent (kilométer, kilogramm, stb.), de a számítástechnikában (ahol a gép belsejében minden kettes számrendszerben van) inkább 1024-et. Azért, mert az 1024 kettő hatvány (2^10) és nagyon közel van az ezerhez, így egy ismert fogalmat (kilo) újrahasznosítottak nagyjából 50 éve a számítógépekkel foglalkozók. [Egy ideje már erőltetik a kilobit helyett a kibibit elnevezést, hogy egyértelmű legyen, hogy 1000-re vagy 1024-re gondol valaki, de ezt most hagyjuk...]

Szóval aki számítógéppel van kapcsolatban (és ki nincs manapság?) annak matek órán illik fejből tudnia azt, hogy 2^10 = 1024.

Vagyis fennáll ez a közelítés:

2^10 ≈ 10^3

2^20 ≈ 10^6

2^30 ≈ 10^9

...

2^5050 ≈ 10^(505·3) = 10^1515

ami 1516 számjegyet jelent.

A pontos érték 1521, szóval az a 2,4 százaléknyi különbség az 1024-ben a sokadik hatványra már 5 számjegyes (százezerszeres!) különbséget okoz.

Tom, a közelítésed, hogy 1 tízes számrendszerbeli számjegy lesz minden 3-dik kettő hatvány kitevőnél, az jóval pontatlanabb közelítés, azzal azt mondod, hogy 8 ≈ 10. Ez ilyen nagy számoknál már 162 számjegyes hibát okoz!