Az miért igaz, hogy a kilenc pozitív egész kitevős hatványai mindig felírhatók három pozitív négyzetszám összegeként?

Nagyon egyszerű a válasz (majd valaki bizonyítja szép, matematikai módszerekkel):

Írjuk fel a két legkisebb 9-hatványt (ha tudjuk):

9^1=9, ez 4+4+1-gyel egyenlő.

9^2=81, ez 16+16+49-cel egyenlő

És most jön a csavar: hogyan írható fel 9^3?

Felírható a 9^3 úgy, hogy 9*9^2. 9-ről tudjuk, hogy 4+4+1-gyel egyenlő, vagyis átírhatjuk így: (4+4+1)*9^2=4*9^2+4*9^2+1*9^2. Egy másik azonosság alapján két négyzetszám szorzata mindig négyzetszám, tehát ezek is négyzetszámok. Általánosságban felírhatjuk:

Legyen a számunk 9^(2k+1) (ez jelöli azt, hogy páratlan a hatvány), ekkor 9^(2k+1)=9*9^(2k)=(4+4+1)*9^(2k)=4*9^(k2)+4*9^(2k)+1*9^(2k)

Hatványozás azonosság miatt =(2*9^k)^2+(2*9^k)^2+(9^k)^2, és pontosan ezt az alakot kerestük, tehát a 3 szám, aminek négyzetösszege 9-hatvány lesz (ha a kitevő páratlan): 2*9^k, 2*9^k és 9^k.

Ha a kitevő páros, akkor kicsit könnyebb dolgunk van: 9^(2k+2)=9^2*9^(2k)=81*9^(2k)=(16+16+49)*9^(2k)=16*9^(2k)+16*9^(2k)+49*9^(2k)=(4*9^k)^2+(4*9^k)^2+(7*9^k)^2, tehát a három keresett szám: 4*9^k, 4*9^k, 7*9^k.

Azt mondanom sem kell, hogy a levezetésben k tetszőleges pozitív egész szám.

Remélem minden érthető :)