Szamitsatok ki a az ABCD trapez kore irhato kor sugarat, ha tudjatok, hogy AB||CD, AB=10cm, DC=16 cm es AD=5 cm. Segittek?

Egy trapéz köré akkor írható kör, ha az húrtrapéz, vagyis ha a szárai egyenlő hosszúak, így BC=5 cm. Az biztos, hogy a kör középpontja a trapéz szimmetriatengelyén fog elhelyezkedni, ezt húzzuk be. Tegyük fel, hogy a kör középpontja a trapézon belül van, így jelöljünk ki egy pontot ezen a szimmetriatengelyen. Ezt a középpontot kössük össze a trapéz egyik szárának végpontjaival (én ezt a jobb oldalon csináltam). Mivel a szimmetriatengely felezi az alapokat, így kapunk egy 5 és egy 8 cm hosszúságú alaprészt. Amint behúztuk a sugarakat, két derékszögű háromszöget kapunk, mindkettőnek az átfogója a kör sugara (R), befogói pedig az alaprészek, valamit a szimmetriatengely részei. A szimmetriatengely viszont megegyezik a trapéz magasságával, amit a megadott adatok alapján ki is tudunk számolni; vetítsük le a kisebbik alapot a nagyobbikra, ez a levetítés 10 cm hosszú. A hosszabik alapból így kimarad 6 cm, amik egyenlő hosszúak, tehát egy kis rész 3 cm hosszú. Ezzel kaptunk egy derékszögű háromszöget, ahol az átfogó a trapéz szára, befogói ez a kis rész és a magasság (m). Felírható így Pitagorasz-tétele:

3^2+m^2=5^2

9+m^2=25

m^2=16

m=4, tehát a magasság 4 cm hosszú.

Térjünk vissza az előbb megtalált 2 derékszögű háromszöghöz. Itt a befogók a magasság egy-egy részei. Tegyük fel, hogy az egyik rész x hosszú (mindegy, hogy melyik), ekkor a másik rész 4-x hosszú lesz. Ezzel már fel tudjuk írni a két derékszögű háromszögre a Pitagorasz-tételt:

I. 5^2+x^2=R^2

II. (4-x)^2+8^2=R^2

R^2 helyére írjuk be az egyik egyenletből a másikba, így ezt kapjuk:

5^2+x^2=(4-x)^2+8^2, innen egyenletet rendezünk

25+x^2=16-8x+x^2+64, összevonás, kiesik az x^2-es tag

25=80-8x /-80

-55=-8x /:(-8)

55/8=6,875=x, ami nem lehet, mivel 4-6,875 negatív, de negatív hossz nem lehet. Tehát az eredeti feltételezésünk rossz volt, miszerint a trapézon belül van a középpont.

Rajzoljunk egy másik ábrát, ekkor a hosszabbik alap alatt lesz a kör középpontja. Ismét kössük össze a középpontot a csúcsokkal, és újra látható a két derékszögű háromszög; ha a "kilógó" részt, vagyis a szimmetriatengely meghosszabítását nevezzük el x-nek, akkor az egyik háromszögben a befogók 8 és x, a másikban 5 és (4+x), az átfogók ismét R-ek lesznek:

I. 5^2+(4+x)^2=R^2

II. x^2+8^2=R^2

R^2 helyére újból beírunk:

5^2+(4+x)^2=x^2+8^2

25+16+8x+x^2=x^2+64

41+8x=64

8x=23, innen x=23/8=~2,875 cm. Visszahelyettesítünk az egyik egyenletbe:

2,875^2+8^2=R^2

8,265625+64=R^2

72,265625=R^2

8,5=~R, vagyis a trapéz köré írható kör sugara kerekítve (de majdnem pontosan) 8,5 cm.

Remélem sikerült segítenem :)