Permutációk, variációk, matek? Mégis, hogyan lehet...?

Hárommal osztható ergo a számjegyek össze osztható hárommal.

A hárommal vett osztási maradékuk:

0 - 0

3 - 0

1 - 1

7 - 1

5 - 2

Tehát 0 és 3 nem lehet benne, hisz akkor a harmadik számjegynek hárommal oszthatónak kell lennie. Viszont 1 és 7 lehet együtt, mert akkor az utolsó számjegynek is 1 maradékot kéne adnia.

Ezért csak 5,1 vagy 7, 0 vagy 3 kombinációk lehetségesek.

Tehát 1*2*2 számhármas jöhet szóba, ennek 3*2*1 permutációja van, ez így összesen 24 szám. De ebben számoltuk a 0 kezdetűeket is, ami 1*2*1 féle számhármas (0 és 1 vagy 7 és 5) 2*1 permutációja (az első számjegy nulla, csak a maradék kettőt permutájuk). Kivonva ezt a négyet meg is kaptuk a 20-t.

Javítás:

0 és 3 EGYÜTT nem lehet benne

1 és 7 SE lehet együtt

Még egy össze->ÖSSZEGE is van benne.

Elnézést, figyelmetlen voltam.

Ahogy már mondtam, a hárommal oszthatóságot csak a számjegyek (azok összegének oszhatósága hárommal) határozza meg, független a szájegeyk sorrendétől.

Ergo egy fajta megoldási módszer, hogy megkeresem hány ilyen számhármas van, majd megnézem ezeket hányféleképp tudom sorba rakni.

A hárommal való osztási maradék ezért fontos, mert a számok összegének oszthatóságát a számok maradékainak összegének oszthatóságával is vizsgálhatjuk.

Pl. 1+5+0=6, ez osztható, de ugyanúgy maradékkel 1+2+0=3 is vizsgálható. Előnye a maradékkal való dolgozásnak, hogy csak 3 értéke lehet 0,1,2 és csoportosítani is tudjuk számokat.

0 maradék osztályból van: 0, 3

1 maradék osztályból van: 1, 7

2 maradék osztályból van: 5

Na most könnyen lehet látni a maradékos módszerből, hogy ahhoz hogy hárommal osztható legyen vagy ugyanabból az osztályból kell három darab (mivel nekünk max 2 van egyből, ezért ez nem lehetséges) vagy minden osztályból pontosan egyet kell vennünk.

Ebből következik, hogy (0 vagy 3) és (1 vagy 7) és 5 a keresett számunk számjegyei. Tehát 5-s mindenképpen benne van és függetlenül választunk egyet-egyet (kétszer két döntés) a {0,3} és {1,7} számpárból. Ez lesz 1*2*2-féle számhármas, amiből összetudjuk állítani a számunkat.

Tehát a szám számjegyei 4-féle lehet. (Ez amúgy az 5,0,1 5,0,7 5,3,1 és 5,3,7)

Most itt két lehetőség van:

1) Adott a három számjegyem, ezt 3*2*1=6 féleképp tudom sorrendbe rakni (tegyük fel mind a négy számhármasra), azaz 3*6=24 ilyen számom van, csak ugye itt hibáztam, hisz 051-t is (háromjegyű) számnak vettem. Azt is látom, hogy ha muszáj a nullát választanom, akkor csak egy döntései lehetőségem van, hogy az 1 és 5 mellé a 1 vagy 7-t veszem hozzá, tehát 2 olyan számhármas van, amiben nulla szerepel. Mindkét ilyen számhármas esetén pontosan 1*2*1 olyan van, aminél a nullát első helyre raktam (első helyen nincs döntésem: 0 lesz, második helyen a két számjegy közül döntök, harmadik helyen megint nincs döntésem: az lesz, ami maradt). Tehát az a két számhármasra 2 lehetőség, összesen négy eset van, amit beleszámoltam, de hibás.

24-4=20

2) Hasonló nagyon. Azt mondom, hogy a négy számhármas felére (amelyikbe a nullát nem vettem be, azaz hármast vettem bele) 3*2*1 sorrend van, ez 2*6=12 szám, a másik felére (amibe 0-t igen, 3-t nem vettem bele) pedig 2*2*1 (első helyen 0-n kívűl bármelyiket, második helyen a 0 és az első helyre nem választott közül döntök, harmadik helyen, ami maradt), azaz 4 sorrend mind a kettő számhármasra, ami összesen 8.

12+8=20