Kétismeretlenes egyenlet megoldása?

Ha az első egyenletet elosztanánk x-szel, a másodikat y-nal, akkor egy másodfokú egyenletrendszert kapnánk, csak vigyázni kell, mert nem tudjuk, hogy x vagy y nem-e 0; és azzal nem szabad osztani.

Nézzük meg, hogy mi van akkor, ha x = 0. az első egyenlet teljesül, a második:

4*y^3 - 16*y = 4*y*(y^2 - 4) = 4*y*(y + 2)*(y - 2) = 0.

Egy szorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, tehát y = 0, -2 vagy 2.

Ha y = 0, akkor a második egyenlet teljesül, az egyenlet pedig

4*x^3 - 16*x = 4*x*(x^2 - 4) = 4*x*(x + 2)*(x - 2) = 0.

Egy szorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, tehát ha az y = 0, akkor x = 0, -2 vagy 2.

(Ez máris 5 darab megoldáspár, hogyha jól számolom.)

Miután ezt kiveséztük feltehetjük, hogy x ≠ 0 és y ≠ 0.

Ekkor oszthatunk a 4-szeresükkel:

x^2 + y^2 = 4, (1)

x^2 + y^2 = 4. (2)

Az első és a második egyenlet egyezik, tehát nem tudunk sokkal többet mondani a megoldásról, esetleg y-t kifejezhetjük x-szel:

y = ± gyök(4 - x^2).

Amire jutottunk összefoglalva:

x = y = 0, vagy az (x, y) pont rajta van a 2 egység sugarú körön.

Az első egyenlet osztható 4x-el, a második 4y-nal.

Lesz: x^2+y^2=4 és y^2+x^2=4 Tehát a két egyenlet azonos. Felírhatjuk, hogy x^2=4-y^2

x^2=(2-y)(2+y) Innen következik, ha x=0, y=2 vagy -2 és ha y=0, akkor x=2 vagy -2

Még várjuk meg mások válaszát is.

Bár a kérdező nem említette, de gondolom, hogy egy egyenlet rendszerről van szó.

Ebben az esetben szép formájú szorzattá alakítható a feladat.

A feladat

4x³ + 4xy² - 16x = 0

4y³ + 4x²y - 16y = 0

Néggyel osztva mindkét egyenletet

x³ + xy² - 4x = 0

y³ + x²y - 4y = 0

Összeadva a két egyenletet

x³ + y³ + xy² + x²y - 4x - 4y = 0

Kiemelések az utolsó négy tagból

x³ + y³ + xy(x + y) - 4(x + y) = 0

A harmadik hatványok összegét az ismert azonosság szerint felírva

(x + y)(x² - xy + y²) + xy(x + y) - 4(x + y) = 0

Az újabb kiemelés után

(x + y)(x² - xy + y² + xy - 4) = 0

Összevonás után lesz

(x + y)(x² + y² - 4) = 0

Az első tagból

y = -x

Ezt az első, néggyel osztott egyenletbe behelyettesítve

x³ + x(-x)² - 4x = 0

2x³ - 4x = 0

2x(x² - 2) = 0

Vagyis

x1 = 0

y1 = 0

valamint

x2 = +√2

y2 = -√2

és

x3 = -√2

y3 = +√2

Szerintem ez a megoldás, jobbat nem tudok. :-)

Ami nem jelenti azt, hogy nincs!

DeeDee

**********

A GeoGebra grafikus megoldása ellenőrzéshez:

[link]

Privátban valaki figyelmeztetett, hogy az első egyenletet "copy-zva", a GeoGebra rosszul értelmezte, én pedig nem vettem észre. Elnézést. Itt a javított változat:

[link]