Miért ennyi a határértéke? Miért 0 és miért 1?

Ha megnézzük a definiciót, [link] látjuk hogy lim mindig 0 vagy nagyobb, negatív nem lehet.

A 0 a harmadik szorzó miatt 0 határértékű, mert annak értéke 1/X, ahol X nem lehet 0, mert nullával értelmetlen osztani.

A harmadik szorzó érétke maximum 1, az első szorzó 5. A második szorzó rejtheti a választ az 1-re, de mikor tanultuk is megakadt a tudományom a határértékszámításnál és deriválás/integrálásnál, így vki okosabbra hagyom, bocs.

Első: Ha már megnézted a definiciót, akkor utána megpróbálhatnád megérteni is és rájönnél, hogy nagyon is lehet negatív a határérték. Lényegében arról van szó, hogy a függvény/sorozat értéke egy adott A-hoz nagyon közel kerül (tetszőlegesen közel). Ha a sorozat értéke negatív (nagy n-kre), akkor természetesen a határérték is negatív lesz. Hogy számokon is bemutassam: |-3-A|=0 -> A=-3. Nyilván pl. -3 vagy -n határétéke végtelenben -3, illetve -végtelen lesz.

Az első tag azért tart egyhez, mert mint a számlálóban, mint a nevezőben az n^2 a meghatározó tag (ennek a növekménye mellett a többi annyira eltörpül, hogy nem is lesznek jelentősek), tehát lényegében n^2/n^2 = 1 határértéke kell. Ezt algebrailag precízen n^2-vel való egyszerűsítéssel lehet levezetni (jellemzen polinomok hányadosának határértékét a legnagyobb fokú taggal való egyszerűsítéssel tudjuk megmutatni), hogy egyszerűsítünk n^2-vel (ezzel ugye értéke nem változik) és kapjuk:

[1 + 2/n + 2/n^2]/[1+1/n^2]

N és n^2, ha n tart végtelenbe, természetesen tartanak a végtelenbe, és konstansot végtelenbe tartó értékkel osztva nullához tartót kapunk. (1 pedig tart 1-hez). Ezen határértékekre nyugodtan elvégezhetjük az összeadást és az osztást: 1+0+0 / 1+0 = 1.

A második meg már az előbb megfogalmazottak miatt konstans/végtelen = 0 (határértéknél). Nyilván két végtelenbe tartó érték szorzata csak még inkább végtelenbe tart.