A képen látható sorozat határértéke tényleg a végtelenbe tart?

Persze.

Találtam hozzá egy bizonyítást bár lehet, hogy nem teljesen korrekt:

(n!)^(1/n) = e^ln[(n!)^(1/n)] = e^[ln(n!)/n]

ln(n!)/n-ről be kéne látni, hogy végtelenben tart végtelenhez, tehát hogy miden K-től nagyobb egy adott (K-tól függő) küszöbtől kezdve:

ln(n!)/n > K

ln(n!) > n*K

n! > e^(n*K)

Erról pedig ismert, hogy n! nagyobb nagyságrendű, mint az exponenicális.

Nem vagyok benne biztos, hogy teljesen korrekt, hogy ln összefüggéseit diszkrét változókra használom bár elméletileg itt is helyesnek kéne lennie szerintem, illetve át lehetne térni folytonos változóra (de akkor n! helyett gamma-függvény kéne, de az meg szerintem ugyanúgy kéne viselkednie).

Szerintem ez így helyes bár korrektebbül kéne talán leírni. De nem vagyok benne biztos, ezt még egyszer kiemelem.

Jól van, ezt sikerült szükségtelenül túlbonyolítanom:

Ha (n!)^(1/n)-re nézzük a definció szerinti feltételt, akkor tetszőlegesen adott K-hoz kell mutatnunk, hogy létezik N küszöb, amitől kezdve igaz, hogy:

(n!)^(1/n) > K

n! > K^n

Erről pedig a nagyságrendekre hivatkozva már tudjuk, hogy létezik olyan küszöb, amitől kezdve n! > K^n.

e^ln()-nel csak túlbonyolítottam.