Teljes négyzetté alakítás? Hogyan?

-2x^2 + 5x - 3

A = -2x^2 + 5x - 3 /:(-2)

A/(-2) = x^2 - 2,5x + 1,5 = x^2 - 2*x*1,25 + 1,25^2 - 1,25^2 + 1,5

A/(-2) = (x - 1,25)^2 - 1,25^2 + 1,5

A/(-2) = (x - 1,25)^2 - 0,0625 /*(-2)

A = -2*(x - 1,25)^2 + 0,125

0,5*x^2 - x - 1

B = 0,5*x^2 - x - 1 /*2

2*B = x^2 - 2x - 2 /+1

2*B + 1 = x^2 - 2x + 1 - 2

2*B + 1 = (x-1)^2 - 2

2*B + 1 = (x-1)^2 - 2 /-1

2*B = (x-1)^2 - 3 /:2

B = 0,5*(x-1)^2 - 1,5

C = ... Ez egy harmadik módszer.

4x^2 - 16x

4x^2 - 16x = (2x)^2 - 2*2x*4

(2x)^2 - 2*2x*4 + 4^2 - 4^2

(2x-4)^2 - 16

D = ...

x^2 - 7x + 3

x^2 - 2*x*3,5 + 3,5^2 - 3,5^2 + 3

(x-3,5)^2 - 9,25

-3x^2 + 4x - 1

E = -3x^2 + 4x - 1 /:(-3)

-E/3 = x^2 - 4/3 *x + 1/3

-E/3 = x^2 - 2* 2/3 *x + 1/3

-E/3 = x^2 - 2* 2/3 *x + 1/3 /+(2/3)^2

-E/3 + (2/3)^2 = x^2 - 2* 2/3 *x + (2/3)^2 + 1/3

-E/3 + (2/3)^2 = (x-2/3)^2 + 1/3

-E/3 + (2/3)^2 = (x-2/3)^2 + 1/3 /-(2/3)^2

-E/3 = (x-2/3)^2 + 1/3 - (2/3)^2

-E/3 = (x-2/3)^2 + 1/3 - 4/9 /*(-3)

E = -3*(x-2/3)^2 - 1 + 4/3

E = -3*(x-2/3)^2 + 1/3

A binomische Formeln tényleg nevezetes azonosságok.

Ahhoz, hogy egy S(X|Y) számpárt kapjunk, egy függvény kell (Funktion). A Tiefpunktból következtetem (minimumpont), hogy függvény kell, hogy legyen. Méghozzá másodfokú (eine Funktion zweiten Grades oder eine quadratische Funktion).

Nézzük az elsőt.

f(x) = x² + 6x + 2

Az ábrázoláshoz (Darstellung) tudnunk kell, hogy

- másodfokú függvény, mert az x legmagasabb hatványa a 2

- a képe parabola (Parabel), mert a másodfokú függvény képe parabola

- ez a parabola felfelé nyitott (nach oben geöffnet),

mert az x² együtthatója (Koeffizient) pozitív; itt most 1·x² szerepel.

Meghatározzuk a tengelypontot (Scheitelpunkt, auch Tiefpunkt genannt) teljes négyzetté kiegészítéssel.

Ehhez felhasználjuk az (a+b) = a² + 2ab + b² nevezetes azonosságot.

x² + 6x + 2 Itt az x² az a²-nek felel meg, ez stimmel. A 2. tag a 6x, ez 2·x·3, ebből látszik, hogy a második tag, a b, 3-mal egyenlő. 2ab = 2·x·3 --> a 2 az 2, 'a' az most x, a b pedig 3.

2ab = 2·x·3

Tehát (x+3)-nak szerepel a négyzete. Csakhogy, hiányzik a második tag négyzete ugye az (a² + 2ab + b²) képlet alapján. b=3 --> b²=9

Ki kell egészíteni az x² + 6x + 2 képletet 9-cel, mert ez hiányzik. De ha hozzáadunk csak úgy 9-et, akkor az eredeti kifejezés megváltozik, ezért le is kell vonni 9-et.

x² + 6x + 2 = x² + 6x + 2 + 9 - 9 = x² + 6x + 9 + 2 - 9

Így nem változik a kifejezés (bleibt unverändert).

x²+6x+9 + 2 - 9 Itt az első 3 tag együtt teljes négyzetet alkot: x²+6x+9 = (x+3)²

De nem szabad lehagyni az utolsó két tagot sem:

f(x) = x²+6x+9 + 2 - 9 = (x+3)² + 2 - 9 = (x+3)² - 7

A függvény hozzárendelési szabálya:

f(x) = (x+3)² - 7

A +3 egy változó transzformáció: az x tengely mentén való eltolást jelent BALRA, 3-mal. Meg kell jegyezni, hogy itt fordítva van. (+3 --> negatív irányú eltolás vízszintesen)

A -7 egy függvényérték transzformáció: az y tengely mentén való eltolást jelent lefelé (negatív irányban) 7 egységgel.

Ezért az x² normálparabolából úgy kapjuk az f(x) = (x+3)² - 7 függvény képét, hogy -3-mal vízszintesen, -7-tel függőlegesen eltoljuk.

Az S tengelypont koordinátái így: S(-3|-7)

Talán még segít ez az ábra:

[link]