Hogyan adható meg az x^p - x ∈ ℤp[x] polinom irreducibilis felbontása tetszőleges p prím esetén?

A kis Fermat tétel szerint x^p - x ≡ 0 (mod p).

ℤp-ben ez azt jelenti, hogy az x^p - x polinom behelyettesítési értéke 0 lesz minden x ∈ ℤp esetén. Vagyis 0-tól p-1-ig minden szám gyöke a polinomnak.

Mivel a polinom p fokú, ezért legfeljebb p gyöke lehet. Az előbb meg is találtuk mind a p gyököt, vagyis a polinom felbontható így:

 p-1

  Π (x-k)

 k=0

Az (x-k) tagok persze már irreducibilisek.