Hogyan határozható meg az alábbi két polinom legnagyobb közös osztója?

a^n - b^n alakokból le lehet vezetni:

x^8 - 1 = (x^4 + 1) (x^4 - 1) = ... = (x^4 + 1) (x^2 + 1) (x + 1) (x - 1)

x^100 - 1 = (x^40 - x^30 + x^20 - x^10 + 1) (x^20 + x^15 + x^10 + x^5 + 1) (x^20 - x^15 + x^10 - x^5 + 1) (x^8 - x^6 + x^4 - x^2 + 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) (x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) (x^2 + 1) (x + 1) (x - 1)

(ezt nyugodtan ne írd le, csak képzeld el, ha úgy könnyebb, de nekem leírva könnyebb...)

Ezekből összegyűjtve a közös elemeket:

(x^2 + 1) (x + 1) (x - 1) a közös osztó. /* Érdekes, hogy a kitevő 4, ami 100 és 8 lnko-ja is. (bár nem hiszem, h van összefüggés) */

Amennyiben kérdéses a lkkt is, akkor: LKKT(A,B) = (min(A,B)/LNKO(A,B)) * max(A,B)

Megpróbáltam egy kis segítséget csinálni:

[link]

A fenti megoldásokkal az a gond, hogy WolframAlpha-val, vagy valami hasonlóval készültek. (Ugye?) Én legalábbis nem tudnám fejből felírni x^100 - 1 szorzattá alakítását.

Kérdező! Nem írtad, de valószínű, hogy a komplex számokat tanuljátok éppen. Igaz?

Ha komplexben gondolkodunk, kijön valami...

x^8 - 1 gyökei:

  x⁸ - 1 = 0

  x = ⁸√1

Vagyis x^8 - 1 gyöktényezős alakjában (x - ⁸√1) tényezők szerepelnek, x^100-1-ben pedig (x - ¹⁰⁰√1)

Azt kellene kitalálni, hogy mik a közös tényezők.

⁸√1 nyolc 1 hosszú (abszolút értékű) komplex szám, aminek irányszögei k·2π/8, ahol k=0,1,2,3,4,5,6,7.

¹⁰⁰√1 száz 1 hosszú komplex szám, aminek irányszögei n·2π/100, ahol n=0,1,...,100.

Azok lesznek egyformák, ahol k/8 = n/100

Már látszik, hogy a #1 válaszoló zárójelben írt érdekessége nem véletlen, hanem az a megoldás. 100-nak és 8-nak a legnagyobb közös osztója 4, azzal tudunk egyszerűsíteni. Vagyis ez az igaz a közös szögekre:

  k/2 = n/25

Szóval a 2-vel osztható k számoknál lesz a két szög, és így a két komplex szám egyforma:

φ₀ = 0·2π/8 = 0·2π/100 = 0       → x₀ = 1

φ₁ = 2·2π/8 = 25·2π/100 = π/2  → x₁ = i

φ₂ = 4·2π/8 = 50·2π/100 = π     → x₂ = -1

φ₃ = 6·2π/8 = 75·2π/100 = 3π/2 → x₃ = -i

Vagyis a közös gyöktényezők: (x-1)(x-i)(x+1)(x+i)

Ez a legnagyobb közös osztó.

Máshogy írva:

Mivel (x-1)(x+1) = (x²-1) és (x-i)(x+i) = (x²+1). ezért az lnko (x²-1)(x²+1) = (x⁴-1).