Működik-e tetszőleges p prímre ℤp fölött a másodfokú egyenlet szokásos megoldóképlete? Milyen feltétel adható arra, hogy egy ℤp[x]-beli másodfokú polinomnak legyen megoldása?

Amennyire én tudom, a Zp gyűrű nem nullosztómentes, ami azt jelenti, hogy az a*b=0 egyenentek nem csak akkor van megoldása, ha a és/vagy b értéke 0. Ezért gondolom nem.

A második kérdésre ha találok választ, megírom.

Az egyszerűbb esetekre sem egyszerű!

Pl. x^2=p egyenletre:

[link]

Tényleg nem jó az első válasz, hisz épp fordítva van: ℤp nullosztómentes. Ezért (x-a)(x-b)=0 csak akkor teljesül, ha x-a vagy x-b nulla, vagyis a megoldóképlet használható ℤp-ben. Ugyanis a megoldóképlet pont ezt a szorzatot vezeti le.

A feltétel a gyök létezésére egyszerűen a megoldóképletből jön. A 2a-val való osztás rendben van, hisz prím maradékosztályban minden nem nulla számnak van reciproka (multiplikatív inverze).

Csak a négyzetgyök okozhat gondot. A feltétel tehát az, hogy a diszkrimináns négyzetszám legyen modulo p.

Vagyis:

x² ≡ b²-4ac (mod p)

legyen ennek a kongruenciának megoldása az adott a,b,c értékekkel.

(persze ez az x még csak a diszkrimináns négyzetgyöke lesz, ez még nem a polinom gyöke... csak egyszerűbb x-nek jelölni.)

Valójában azon múlik, hogy y^2=k megoldása-e a +k^(1/2) és a -k^(1/2).

Illetve az sem igaz, hogy a 2a-val való osztás rendben van, hiszen modulo 2-ben 2=0.

A feltétel pedig az, hogy b^2-4ac négyzetes maradék legyen.