Mi ezeknek a komplex számos feladatoknak a megoldása?

Nem tudom, mit tanultatok már a komplex szám gyökvonásáról. Úgy értem, hogy lehet, hogy más módszerrel kell megoldanod, mint ahogy én fogom csinálni.

2) √(-1)

Az eredmény algebrai alakban a+bi, csak ki kell találni, hogy mi az a és mi a b.

Annyit tudunk róluk, hogy mindkettő valós szám. Fontos, hogy b is valós, hiszen csak b·i lesz képzetes az i miatt.

√(-1) = a+bi       / emeljük négyzetre (ugye egyértelmű, hogy hogyan jön ki a+bi négyzete?)

-1 = a² - b² + 2ab·i

kicsit máshogy felírva:

(-1) + (0)·i = (a²-b²) + (2ab)·i

Ez csak úgy lehet, hogy a bal oldali valós tag megegyezik a jobb oldali valóssal, és a bal oldali képzetes is a jobb oldalival:

a²-b² = -1 és 2ab = 0

Szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, vagyis vagy a, vagy b nulla:

a) Ha a=0:

0²-b² = -1

b² = 1

b = ±1

vagyis a megoldás:

√(-1) = a + bi = 0 ± i

b) Ha b=0:

a²-0² = -1

a² = -1

ennek nincs megoldása (hisz a-nak valósnak kell lennie)

Tehát csak a ±i a megoldás.

3)

Ugyanúgy csináljuk ezt is:

√(-8i) = a + b·i

négyzetre emelés:

-8i = a² - b² + 2abi

0 + (-8)i = (a²-b²) + (2ab)i

→ a²-b²=0 és 2ab=-8

a² = b² → a = ±b

ab = -4

a) Ha a = +b:

ab = a² = -4

Ennek nincs megoldása.

b) Ha a = -b

ab = -a² = -4

a² = 4

a = ±2

Vagyis a megoldások:

egyik: √(-8i) = 2 - 2i

másik: √(-8i) = -2 + 2i

4)

√1 = a + bi

1 + 0·i = (a²-b²) + 2ab·i

→ a²-b² = 1 és 2ab=0

fejezd be...

Ja, azt hittem, a 4 ott a feladat sorszáma.

Negyedik gyököt így már nem lehet kényelmesen csinálni. Akkor viszont bizonyára tanultátok a gyökvonást más úton: át kell alakítani a számot trigonometrikus alakra először:

z = r·(cos α + i·sin α)

z=1 esetén:

r = 1

α = 0

Ennek a negyedik gyöke: r-ből negyedik gyököt kell vonni, α-t pedig el kell osztani 4-gyel.

De van több megoldás is, hisz a szög k·2π-vel periodikus. k=0,1,2,3  értékeknél a 4-gyel osztás más szöget ad (utána már ugyanazok a szögek jönnek újra 2π-vel eltolva)

k=0: α/4=0

k=1: α/4=π/2

k=2: α/4=π

k=3: α/4=3π/2

A végén még vissza kell alakítani algebrai alakba. Az meg simán úgy megy, hogy ki kell számolni a szinusz meg koszinuszt a trigonometrikus alaknál:

k=0: 1·(cos 0 + i·sin 0) = 1

k=1: 1·(cos π/2 + i·sin π/2) = i

k=2: 1·(cos π + i·sin π) = -1

k=3: 1·(cos 3π/2 + i·sin 3π/2) = -i