Komplex számok - Mikor lesz ε és ε + 1 is egységgyök?

Gondolom, ugyanahhoz az n-hez tartozó egységgyök...

Vagyis εⁿ = 1 és (ε+1)ⁿ = 1

(ε+1)ⁿ = εⁿ + Σ (n alatt k)·ε^(n-k) = 1 + Σ (n alatt k)·ε^(n-k) = 1

ahol a szumma k=1-től n-ig megy

Σ (n alatt k)·ε^(n-k) = 0

Hmm, ebből szerintem nem fog kijönni...

Induljunk el máshogy:

A két egységgyök:

ε = cos α + i·sin α          ahol α = a·2π/n

ε+1 = cos β + i·sin β      ahol β = b·2π/n

A másodiknak a valós része 1-gyel több kell legyen, mint az elsőnek:

sin β = sin α

cos β = cos α + 1

A szinuszok egyenlősége miatt:

β = π - α + 2kπ

ennek a koszinusz pedig: cos(β) = cos(π-α) = - cos(α)

-cos α = cos α + 1

cos α = -1/2

Ez kijön egyszerű meggondolásokkal is: A szinuszok azonossága miatt α és β a képzetes tengelyre szimmetrikus kell legyen (rajzold fel a komplex számsíkot az egységkörrel, hogy jobban lásd). Ha a koszinuszok között 1 van, akkor az két oldalon felet-felet jelent. Vagyis

cos α = -1/2

cos β = +1/2

α = 2π/3 = a·2π/n   → a = n/3

β = π/3 = b·2π/n → b = n/6

Vagyis n-nek 6-tal oszthatónak kell lennie. Tehát 6-odik, illetve 6 többszörösedik egységgyököknél lesz ilyen ε.