Másodfokú törtes egyenlőtlenségi feladatot hogyan kell megoldani?

A bal oldalon tört van, és a tört értéke akkor nagyobb, mint 0, ha a számláló és a nevező előjele megegyezik. Mivel a 8 pozitív, ezért a nevezőnek is pozitívnak kell lennie, tehát az

x^2+x-6>0 egyenlőtlenséget kell megoldani.

Mivel tört van a feladatban, az első lépés a kikötés: x minden olyan valós szám lehet, amire a nevező nem lesz zérus, azaz xeR\{-3;2}. Egy tört akkor pozitív, ha a számlálója és a nevezője azonos előjelű. Mivel a számláló pozitív (+8), ezért ez csak akkor teljesül, ha x^2+x-6>0.

A főegyüttható (x^2 együtthatója) pozitív, így a parabola felül nyitott, a két zérushelyét meg már számoltuk fent (-3 és 2). Így ez akkor >0, ha x<-3 vagy x>2. Mivel ez a kikötésnek megfelel, az összes megoldást megadja.

8 nem határ, mivel ez nem is számít most - ez egy konstans pozitív érték, és fent megbeszéltük, hogy az eredeti kifejezés bal oldalán álló tört csakis akkor pozitív (azaz >0), ha a számlálója és a nevezője azonos előjelű. Ez most csak úgy lehetséges, ha mindkettő pozitív.

Az f(x)=x^2+x-6 függvény képe egy parabola. A x^2 együtthatója miatt (ami most +1) ez felül nyitott. Van két zérushely (-3-ban és 2-ben). Ha felvázolod a grafikont, akkor láthatod, hogy x<-3 vagy x>2, akkor az f(x) függvényérték pozitív. Következésképpen ha -3<x<2 áll fent, a függvényérték (és így a tört számlálója is!) negatív. Márpedig pozitív/negatív az negatív. Ezért nem jók az olyan x-ek, melyre -3<x<2 teljesül.

Például ha x=0, akkor x^2+x-6=0^2+0-6=-6, és 8/-6=-4/3<0, tehát a kitűzött feladatnak ellentmond. Ha viszont x=-4, akkor 8/4=2>0: ez jó, ugyanígy x=3 esetén 8/6=4/3>0: ez is jó.

Íme:

[link]