A k paraméter mely értékére nincs az egyenletrendszernek megoldása? x + y + 2 z = -1 x +2y - 2 z = -2 6x +14 y + k z = -13 k=? hogyan kapom meg eböl a k-nak az értékét és mi a k értéke?

Tehát az egyenletrendszer:

x+y+2z=-1

x+2y-2z=-2

6x+14y+kz=-13

Jó lenne tudni, hogy egyetemre vagy középsulira kell; de legyen középsulis feladat, akkor nem kell túlmagyarázni a dolgokat:

Fejezzük ki x-et az első egyenletből (az a legegyszerűbb):

x=-1-y-2z=-(1+y+2z), ezt írjuk be a másik két egyenletbe:

-1-y-2z+2y-2z=-2, összevonva y-4z=-1

-6(1+y+2z)+14y+kz=-13 /összevonás

-6-6y-12z+14y+kz=-13, összevonva 8y+(k-12)z=-7, így az egyenletrendszer, ami marad:

y-4z=-1

8y+(k-12)z=-7

Szorozzuk az első egyenletet 8-cal:

8y-32z=-8

8y+(k-12)z=-7 /vonjuk ki egymásból a két egyenletet:

(k-12)z+32z=1 /összevonás

(k-12+32)z=(k+20)z=1

Nem nehéz kitalálni, hogy ha k+20=0, akkor az egyenletből 0=1 lesz, ami nem igaz, tehát k=-20-ra nem lesz megoldása az egyenletrendszernek (feltéve, hogy jól számoltam, de szerintem nem számoltam el sehol, azért ellenőrizd! :D ).

Sajnos valahol elszámoltad:

[link]

Itt ellenőriztem gyorsan:

[link]

Ha csak a végeredményt kéri, akkor k=-20 és kész (már ha nem számoltam el).

Ha egyetemi feladat, akkor Gauss-eliminációval illik megoldani. Írjuk fel az ismeretlenek együtthatóját egy 3x3-as mátrixban, utána húzzunk egy vonalat és mögé írjuk a jobb oldalt (az oszlopok sorrendben: x;y;z):

[+1 +1 +2| -1]

[+1 +2 -2| -2]

[+6 14 +k|-13]

(A +-okat azért írtam ki, hogy az egységesség az oszlopok között megmaradjon, mivel ha sok szóközt nyomok, a megjelenítésnél összehúzza azokat).

A Gauss-elimináció lépései:

-keressünk egy 1-est a vonaltól balra (ha nincs, akkor az egész sort osszuk valamelyik számmal, így tudunk egyet kreálni), karikázzuk be, majd a bekarikázott 1-es alatti számokat "nullázzuk" ki; ahogy kinulláztuk a sor egyik elemét, ugyanúgy kell a sor többi elemével is eljárni (mindjárt meglátjuk, hogy ez pontosan mit is jelent).

-ha ezzel kész vagyunk, keressünk egy másik 1-est, amit bekarikázhatunk, de ugyanabban a sorban vagy oszlopban nem lehet 1-nél több karikázás. Ezt addig csináljuk, amíg mindegyik sorban és oszlopban pontosan 1 karikázás lesz, vagy amíg tilos sorhoz nem jutunk; tilos sor úgy képződik, ha bal oldalon csupa 0 van, jobb oldalon 0-tól különböző szám (mivel a visszafejtésnél 0=számot kapnánk, ami meg ugye nem lehet).

Akkor kezdjük; a bal felső sarkos 1-est bekarikázom ( így jelölöm: 1°:

[1° +1 +2| -1]

[+1 +2 -2| -2]

[+6 14 +k|-13]

A közvetlen alatta lévő számból úgy lesz 0, ha kivonom a bekarikázott szám 1-szeresét, tehát a mellette lévő számok 1-szeresét is kivonom a közvetlen alattuk lévő számokból:

[1° +1 +2| -1]

[ 0 +1 -4| -1]

[+6 14 +k|-13]

Az utolsó sor 6-osából úgy lesz 0, ha a bekarikázott szám 6-szorosát kivonom, így teszek a mellette lévő számokkal is:

[1° +1 +2| -1]

[ 0 +1 -4| -2]

[ 0 +8 +(k-12)|-7]

Bekarikázzuk a középső 1-est:

[1° +1 +2| -1]

[ 0 1° -4| -2]

[ 0 +8 +(k-12)|-7]

A feladat ugyanaz, mint eddig; a felette lévő 1-ből úgy lesz 0, hogy a szám 1-szeresét kivonjuk:

[1° +0 +6| +1]

[ 0 1° -4| -1]

[ 0 +8 +(k-12)|-7]

Az alatta lévő 8-asból úgy lesz 0, ha a szám 8-szorosát vonom ki:

[1° +0 +6| +1]

[ 0 1° -4| -1]

[ 0 +0 +(k+20)| 1]

Már csak a (k+20)-at tudnám karikázni, ehhez előbb osztanunk kellene k+20-szal; k+20-szal akkor nem oszthatunk, ha 0 az értéke (mivel 0-val nem osztunk), vagyis k=-20 esetén nem lesz megoldása az egyenletrendszernek (nem mellesleg így az utolsó sor [0 0 0| 1] lesz, ami a fent definiált tilos sornak felel meg).

Tehát k=-20 esetén nem lesz az egyenletrendszernek megoldása.

Mennyivel egyszerűbb volt az előző megoldás :D