Hogyan lehet megoldani ezt a logaritmusos egyenlőtlenséget?

Kikötés: a logaritmus argumentuma biztosan pozitív, így

(3x-1)/(x+2)>0

A bal oldalon tört van, és a tört értéke akkor nagyobb 0-nál, ha pozitív, és akkor pozitív, ha a számláló és a nevező előjele megegyezik.

1. eset: mindkettő pozitív, ekkor 3x-1>0, vagyis x>1/3, x+2>0, vagyis x>-2, a két egyenlőtlenség metszete az (1/3;végtelen) intervallum.

2. eset: mindkettő negatív, ekkor x<1/3 és x<-2, ekkor a két egyenlőtlenség metszete a (-végtelen;-2) intervallum, tehát ezeken az intervallumokon van értelmezve az egyenlőtlenség.

Most nézzük az egyenletet:

log(3)[(3x-1)/(x+2)]>1 /1=log(3)[3]

log(3)[(3x-1)/(x+2)]>log(3)[3] /a logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt

(3x-1)/(x+2)>3 /közös nevező: (x+2)

(3x-1)/(x+2)>(3x+6)/(x+2) /-(3x+6)/(x+2)

-7/(x+2)>0

Ugyanaz a forgatókönyv, mint az előbb: a bal oldalon tört van, a tört értéke akkor pozitív, ha a számláló és a nevező előjele megegyezik. A számláló előjele biztosan negatív, így a nevezőnek is szükségképp negatívnak kell lennie:

x+2<0, vagyis x<-2

Összevetve a megoldást a kikötéssel, a (-végtelen;-2) intervallum lesz az egyenlőtlenség megoldáshalmaza.