Hogyan lehet megoldani a következő logaritmusos feladatot?

a 4-es alapú logaritmust 2-es alapúra alakítod, azt hiszem az log2 9 lesz, de már régen tanultam ezt (1 éve xD)

aztán az egészet 2-es alapra emeled, akkor eltűnik a log2.

és akkor ami marad az a (x-2)+(x+3)= 2+4*9.. de nem biztos, lehet rosszul tudom.. ha igen, kérlek javítsatok ki! :)

Az első válaszolónak megkopott a tudása 1 év alatt :D

Átváltás más alapú logaritmusra: log(a)[b]=log(x)[b]/log(x)[a], ahol x tetszőleges, a kikötést nem sértő szám. A képletet használva

log(4)[3]=log(2)[3]/log(2)[4]=log(2)[3]/2, így az egyenlet

log(2)[x-2]+log(2)[x+3]=1+log(2)[3] kikötés: x>2 /1. azonosság: log(a)[b]+log(a)[c]=log(a)[b*c]

log(2)[(x-2)*(x+3)]=1+log(2)[3] /1=log(2)[2]

log(2)[(x-2)*(x+3)]=log(2)[2]+log(2)[3] /1. azonosság

log(2)[(x-2)*(x+3)]=log(2)[6] /a logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt

(x-2)(x+3)=6 /zárójelbontás

x^2+x-6=6 /-6

x^2+x-12=0

Másodfokú egyenlet megoldóképletével megoldjuk: x1=3, x2=-4, utóbbi nem esik bele a kikötésbe, így az x=3 lesz a jó megoldás. Ellenőrzés:

bal oldal: log(2)[3-2]+log(2)[3+3]=log(4)[1]+log(2)[6]=0+log(2)[6]=log(2)[6]

jobb oldal: 1+2log(4)[3]=log(2)[2]+log(2)[3]=log(2)[6], tehát jól dolgoztunk.

LOG(2,x - 2) + LOG(2,x + 3) = 1 + 2·LOG(4, 3) egyenletet átírható 2-es alapra. A jobb oldal LOG(2,2)+LOG(2,3).

Tehát LOG(2,(x-2)(x+3))=LOG(2,6), amiből lesz (x-2)(x+3)=6

másodfokú egyenlet. Ezt megoldva kapjuk x1=-4 és x2=3 gyökpárt. De az eredeti egyenletet csak az x=3 elégíti ki.

Sz. Gy.