Matekhazi egyenletrendszer Help pls?

Szép feladat :)

Nézzük először a második egyenletet:

log(5)[64^x]*log(4)[125^y]=45 /azonosság: log(a)[b^k]=k*log(a)[b]

x*log(5)[64]*y*log(4)[125]=45 /ugyanaz az azonosság, csak visszafelé:

x*y*log(4)[125^log(5)[64]]=45

Most vizsgáljuk meg ezt: 125^log(5)[64]

Erről tudjuk, hogy =(5^3)^log(5)[64]

hatványozás azonosság: (a^k)^n=a^(k*n) miatt =5^(3*log(5)[64])

az első azonosság miatt =5^(log(5)[64^3])

definíció szerint =64^3,

tehát log(4)[125^log(5)[64]]=log(4)[64^3], ezt pedig már ki tudjuk számolni; log(4)[4^9]=9, tehát

x*y*9=45, amire x*y=5, ennyi egyenlőre elég. Írjuk be az első egyenletbe:

√(x-4)+√(x-5)-1=-x^2+7x-10 /+1

√(x-4)+√(x-5)=-x^2+7x-9

A bal oldal miatt a kikötés x≥5, ekkor a bal oldal értéke 1. Ez azt jelenti, hogy a jobb oldalnak is legalább 1-nek kell lennie:

-x^2+7x-9≥1 /-1

-x^2+7x-10≥0 /:(-1)

x^2-7x+10≤0

Kellenek a gyökei;megoldóképletből x1=2 és x2=5, vagyis

(x-2)(x-5)≤0

A bal oldali szorzat akkor lesz legfeljebb 0, vagyis nempozitív, ha pontosan az egyik tagja negatív (vagy 0), így 2≤x≤5 között lehet x értéke. A két kikötést összehasonlítva x értéke csak 5 lehet, ezért csak ezzel tudunk tovább számolni; ha x=5, akkor a második egyenletből kijön, hogy y=1. Ellenőrzéssel igazolható.

Hát, az első része középszintű tudást igényel, a második része (hogy az értékkészlet miatt kell kikötést tennünk) szokott lenni emelt szintű feladatsorban.

Szóval nehéznek nehéz, talán nehezebb is, mint várható, de az emelt szintűbe belefér :)

Íme:

[link]

Szívesen.

Én is azt csináltam. Kifejeztem az 1-sőből az x-et, és behelyettesítettem a 2. egyenletbe. Csak a könnyebb behelyettesítés érdekében kiszámoltam külön az x-1 és x+1 kifejezéseket, és még el is osztottam őket egymással. Véletlenül (?) 1-y jött ki, ez már adta magát.