Be tudja vki bizonyítani az alábbi egyenletet? 1-1/2+1/3-1/4+.. =ln2

Ennek a hátterében az van, hogy a harmonikus sor és az ln(n) különbsége konstanshoz tart:

(1+1/2+1/3+1/4+...+1/n) - ln(k) --> c

Ezt az 1/x függvény alatti terület becslésével lehet szemléltetni.

Vázlatos indoklás:

Ha az előbbit elfogadjuk, akkor az alternáló harmonikus sor részösszegeire:

1-1/2+1/3-1/4+... -1/2k)=

=(1+1/2+1/3+1/4+...+1/2k)-2*(1/2+1/4+1/6+...+1/2k)=

=(1+1/2+1/3+1/4+...+1/2k)-(1+1/2+1/3+...+1/k)

ami ln(2k)-ln(k)-val közelíthető

ez pedig egyenlő ln(2k/k)-val, ami ln(2)

Itt persze az átrendezhetőség komoly bizonyítást igényelne, a sorok estében ez nem egyértelmű...