1:Egy háromszög egyik belső szöge egy másik belső szög négyszeresénél 10-fokal nagyobb, a harmadiknál pedig 70-fokkal kisebb. Mekkorák a háromszög belső szögei? 2: Egy sokszögnek tizennégyszer annyi átlója van, mint oldala. Hány oldalú ez az sokszög?

1. Nevezzük el az egyik szöget Ł (alfa)-nak, a másikat ß (béta)-nak, a harmadikat y (gamma)-nak, ekkor tudjuk, hogy

Ł=4*ß+10° (az egyik szög 10°-kal nagyobb a másik négyszeresénél, í a másik szöghöz 10°-ot adva egyenlőek lesznek), innen egyenletrendezéssel (Ł-10°)/4=ß.

A harmadik szöggel felírható az Ł=y-70°, vagyos Ł+70°=y.

Tudjuk, hogy tetszőleges háromszög belső szögeinek összege 180°: Ł+ß+y=180°, de tudjuk, hogy ß=(Ł-10°)/4 és y=Ł+70°, ezeket behelyettesítve

Ł+(Ł-10°)/4+Ł+70°=180° /*4

4Ł+Ł-10°+4Ł+280°=720° /összevonás

9Ł+270°=720° /-270°

9Ł=450°/:9

Ł=50°, Tehát a szögek:

Ł=50°

ß=(50°-10°)/4=10°

y=50°+70°=120°

Ezekez összeadva: 50°+10°+120°=180°igaz.

2. Tetszőleges n csúcsú sokszögnek n(n-3)/2 átlója van; n csúcsból n-3 átló induk, mivel a szomszédos csúcsokba és önmagába nem megy átló, ezért mincen csúcsnál (n-3)+(n-3)+...+(n-3) átlót számolhatunk meg minden egyes csúcsnál, és mivel n darap csúcs van, ezért az előző összeg n-tagú, így n(n-3) átlót számoltunk meg. Igan ám, csakhogy minden átlót mind a két végpontján megszámoltunk így, ezért a szorzatot osztanunk kell 2-vel, így alakul az n(n-3)/2-es képlet.

Fontos megjegyezni, hogy az n csúcsú sokszögnek n oldala van.

A kérdést követve felírható ez az egyenlet:

n(n-3)/2=14n (átlószám=14*oldalszám) /*2

n(n-3)=28n /zárójelbontás

n^2-3n=24n =-28n

n^2-31n=0 /emeljünk ki n-t

n(n-31)=0

A bal oldalon egy szorzat van, a jobb oldalon 0. Egy szorzat értéke csak akkor 0, ha legalább az egyik tényezője 0, vagyis vagy n=0, ami nem lehet, mert "nullaszög", mint sokszög nem létezik, vagy n-31=0, vagyis n=31. Tehát a sokszögnek 31 oldala/csúcsa van.

3. Nevezzük el az egyik szoba oldalát x-nek, ekkor a másik szoba oldala x+1,4. Alapterületük x^2 és (x+1,4)^2=x^2+2,8x+1,96 (az (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 képlet alapján). Ennek a kettőnek a különbsége 12,04:

x^2+2,8x+1,96-x^2=12,04 /összevonás

2,8x+1,96=12,04 /-1,96

2,8x=10,08 /:2,8

x=3,6

Tehát a két szoba oldalhossza 3,6 és 3,6+1,4=5 méter, így alapterületük 3,6^2=12,96 és 5^2=25 m^2.

alfa = béta*4+10 = gamma-70

alfa+ beta+ gamma=180

gamma-70+ (gamma-80)/4 + gamma= 180

ezt már ki tudod számolni és megvan alfa béta gamma.

n csúcs esetén van n oldal és (n-1)+(n-2)+...+1+0 átló

azaz szumma_(t=0)^n-1 t= 14n ahol egyébként kiszámolhattad egyszerűen úgy is, hogy n(n-1)/2

egy ismeretlen egy egyenlet, ezt is megoldod.

n=29

1,4-el hosszabb akkor (x+1,4)^2=x^2+12,04

ez megint egy ismeretlen és egy egyenlet. megoldod innen egyszerűen.

egyes válaszoló, a kettesnél miért használsz n-3 at?

az n-szögből n-1, n-2, n-3, ... , 1, 0 különböző átló húzható. ezeket szummázva (egyszerűbben pedig n*(n-1)/2 vel számolhatod ki)

a többit nem olvastam végig, mert túl hosszan írod.

á, értem. én hibáztam.

most megyek elszégyellem magam :( pedig csak segíteni akartam.

Egyszerűbb megoldás

X+4x+10+4x+10+70=180

Egy ábra is sokat segíthet!(rajzolsz egy kis hár.szöget és beleírod)

X=10

Tehát

A háromszög szögei : 10°,50°,és 120°