Bizonyitsd be matematikai indukcioval hogy egy negyzet feldarabolhato "n" darab negyzetre, barmely n>=6 eseten, ezt hogyan?

Először is, meg kell nézni, hogy n=6-ra igaz-e az állítás. Ahogy én elnéztem, itt két feladatot kell majd megoldanunk,; egyszer, ha n páros, egyszer ha n páratlan.

1. eset: n páros

Nézzük, hogy n=6-ra mi a helyzet: az érthetőség kedvéért konkretizálom: vegyünk egy 3*3-os négyzetet, ekkor "L" alakban rajzoljunk 5 darab 1*1-es négyzetet, ekkor kimarad egy 2*2-es négyzet (remélem ezt nem kell külön belátnom, eléggé triviális, a rajzból látszik, miért).

n=8-ra 7 darab (6/4)*(6/4)-es négyzetet rajzolunk, a maradék rész egy (6-6/4)(6-6/4)-es négyzet.

Írjuk fel általánosan: egy l oldalhosszú négyzetet szeretnénk n (páros) darab négyzetre feldarabolni, ekkor n-1 négyzetet rajzolunk le "L" alakban, amiknek az oldalhossza l/(n/2)=2*l/n, a fennmaradó rész egy l-2*l/n=l*n/n-2*l/n=(l*n-2*l)/n=l*(n-2)/n oldalhosszú négyzet. Tudjuk, hogy ha ezeknek a területét összeadjuk, akkor vissza kell kapnunk az eredeti négyzet területét, vagyis l^2-ent:

(n-1)*(2*l/n)^2+(l(n-2)/n)^2=l^2

(n-1)*4*l^2/n^2+l^2(n-2)^2/n^2=l^2

Mivel itt tudunk l^2-tel osztani, azt bizonyítja, hogy tetszőleges élhosszú négyzetre is igaz lesz az állítás:

(n-1)*4/n^2+(n-2)^2/n^2=1

(4n-4+n^2-4n+4)/n^2=1

n^2/n^2=1, ami igaz, tehát a feltevés igaz n-ig.

Nézzük meg, hogy n+1-re mi a helyzet. Ha n+1-et elnevezzük a-nak: n+1=a, akkor csak annyi a dolgunk, hogy a fenti bizonyításban az n-eket a-kra cseréljük, és ugyanez fog kijönni.

A képletből az is kiderül, hogy n=2-re ugyan ugyanúgy kijön az egyenlet, de lássuk be, hogy 2-1=1 darab négyzetet nem lehet elrakni "L" alakban, pláne nem úgy, hogy utána nem marad hely ((2-2)^2/2^2=0) (ez persze nem bizonyítja azt, hogy tényleg nem lehet, csak ezzel azt magyarázom, hogy ez a módszer nem jó rá, de szerencsére nem is az a kérdés, hogy felosztható-e, hanem az, hogy n≥6-ra fel lehet). n=4-re kijön, de a feltétel azért lett kiírva 6-tól, mert 5-re nem fog kijönni, meglátjuk miért nem.

Ezzel a feladat első fele kész.

Páratlan n-re: n=7 a 3*3-as négyzetbe megint csak "L" alakban rajzoljunk fel 3 1,5*1,5-es négyzetet, a fennmaradó 2,5*2,5-es négyzetet kétszer félbevágva kapjuk meg a hiányzó 4 négyzetet.

n=9-re 5 darab 1*1-es négyzetet kell "L" alakban rajzolni, a fennmaradó 2*2-es részt kétszer félbevágjuk.

n=11-re 7 darab 3/4*3/4-es négyzetek mennek "L"-be, a maradék 9/4*9/4-es négyzetet ugyanúgy vágjuk szét, mint eddig.

n=7-re találtunk felosztást, így azt külön már nem kell bizonyítanunk, egyébként a bizonyítás visszavezethető n-3-ra, mivel evidens, hogy tetszőleges négyzet felosztható négy egyenlő területű négyzetre, méghozzá a oldalfelező szimmetriatengelyek behúzásával, tehát gyakorlatilag a páros esetben is bizonyítottuk az állítás helyességét (az n=7 azért problémás, mivel az n-3-ra kiesik az n≥6-os feltételből).

A lényeg: ha páros n-re felosztható, akkor (két lépésben) n+3-ra is felosztható, tehát minden páros és páratlan eset bizonyított.

n=5-re azért nem jön ki, mert akkor ugye 2 négyzetet kellene elrakni "L" alakban, az meg ugye nem túl gyakori (persze ez igazából azt nem bizonyítja, hogy tényleg nem lehet felosztani sehogy, de most nem is ez volt a kérdés, hanem hogy n≥6-ra igaz-e).