Matekházi, egész számok körében egyenlet?

1. Ha tudod alkalmazni az azonosságot, akkor én is tudom :P

a^2-4b^2=116, vagyis (a+2b)(a-2b)=116. Mivel a és b egész számok, ezért az a+2b és az a-2b is egészek. Ha ennek a két számnak a szorzata 116, akkor a+2b és a-2b is osztója a 116-nak. 116 osztói: 1;2;4;29;58;116

Általánosítsunk: ha a+2b=k, akkor a-b=116/k, ekkor a két szám összege tényleg 116 lesz. Írjuk fel egyenletrendszerben:

a+2b=k

a-2b=116/k, összevonjuk a két egyenletet

2a=k+116/k, vagyis a=(k+116/k)/2, ez pontosan azt jelenti, hogy akkor van esélyünk jó megoldást találni, ha a 116 két szorzótényezőjének összege páros, ez egyedül a 2*58-nál valósul meg, tehát:

a+2b=58

a-2b=2, összevonva a két egyenletet

2a=60, vagyis a=30, ezt visszaírva valamelyikbe b=14 jön ki. Ellenőrzés: 30^2-4*14^2=900-784=116

Több megoldás nincs.

a^2 - 4b^2 = 116

(a-2b)(a+2b) = 116

116 = 1*2*2*29

(a-2b)(a+2b) lehet

1*116

2*58

4*29

29*4

58*2

116*1

Mindenhol az a-2b, illetve az a+2b az egyes tényezők. Meg kell vizsgálni mind a 6 esetet. Ezt rád bízom.

ab + a + b = 12

a(b+1) = 12 - b

a = (12-b)/(b+1) = (-b-1+11)/(b+1) = (-b-1)/(b+1) + 11/(b+1) = -1 + 11/(b+1)

A b+1 osztója 11-nek, tehát lehet

-11 --> b = -12 --> a = -2

-1 --> b = -2 --> a = -12

1 --> b = 0 --> a = 10

11 --> b = 10 --> a = 0

Ha el nem számoltam.

#3 Nem jó.

Nem 11, hanem 13 jön ki. (-b-1+11) helyett (-b-1+13) kell. A menete jó, de a 13 osztói kellenek, azaz

-13, -1, 1, 13

"Általánosítsunk: ha a+2b=k, akkor a-b=116/k, ekkor a két szám ÖSSZEGE tényleg 116 lesz. Írjuk fel egyenletrendszerben:" Itt az ÖSSZEGE helyett SZORZATA van.

2. ab+a+b=12, emeljük ki a-t: a(b+1)+b=12, most egy trükk: adjunk hozzá mindkét oldalhoz 1-et: a(b+1)+b+1=13, ha a bal oldalt átírom így, tudunk alkalmazni valamit: a(b+1)+1(b+1)=13, megint ki tudunk emelni b+1-et: (b+1)(a+1)=13. Itt is egy olyan szorzatot kaptunk, ahol mindkét tényező egész, ezért a+1 és b+1 13 osztói lesznek. 13 osztói: -13;-1;1;13 (most jutott eszembe, hogy a a (negatív)*(negatív)=pozitív, vagyis az ilyen megoldások is jók lehetnek). A felírható egyenletrendszerek:

a+1=13

b+1=1, innen a=12 és b=0. Ellenőrzés: 13*0+12+0=12, ez jó

vagy

a+1=1

b+1=13, innen a=0 és b=12. Ellenőrzés: 0*12+0+12=12, ez is jó.

vagy

a+1=-1

b+1=-13, innen a=-2 és b=-14, ellenőrzés: (-2)(-14)+(-2)+(-14)=12, ez is jó.

vagy

a+1=-13

b+1=-1, innen a=-14 és b=-2, ellenőrzés: (-14)(-2)+(-14)+(-2)=12, ez is jó

Több megoldás nincs (az elsőnél, mivel nem vettem számításba a negatív számokat, ezért az összes megoldás a=+-30 és b=+-19, ráadásul a "cserét" is elfelejtettem; az volt, hogy a+2b=58 és a-2b=2, de az a+2b=2 és a-2b=58 egyenletrendszert is meg kellene oldani).

Ugyanez a helyzet a harmadikkal is.

4. ab+3a-5b+3=0, emeljünk ki a-t: a(b+3)-5b+3=0, hogy megint ki tudjunk emelni, adjunk mindkét oldalhoz 6b-t: a(b+3)+b+3=6b, kiemelünk, (b+3)(a+1)=6b. Ugyanaz a helyzet, mint eddig volt; két egész szám szorzata egész. Mivel tudjuk. hogy b+3 osztója a 6b-nek, ezért a 6b/(b+3) tört biztosan egész. Alakítsuk át a törtet: 6b/(b+3)=(6b+18-18)/(b+3)=(6b+18)/(b+3)-18/(b+3)=6-18/(b+3). Itt már csak az a kérdés, hogy a -18/(b+3) mikor lesz egész. Akkor, ha a b+3 a -18 valamelyik osztója: -18;-9;-6;-3;-1;1;3;6;9;18, tehát

b+3=-18, amire b=-21

b+3=-9, amire b=-12

b+3=-6, amire b=-9

b+3=-3, amire b=-6

b+3=-1, amire b=-4

b+3=1, amire b=-2

b+3=3, amire b=0

b+3=6, amire b=3

b+3=9, amire b=6

b+3=18, amire b=15

Ezekhez az a-t úgy találjuk meg, hogy az egyenletbe behelyettesítünk b helyére, és kiszámoljuk az a-t:

b=-21-re

-21*a+3a-5(-21)+3=0

-18a=108, amire a=6

A többit ugyanígy, azt már rád bízom. Ha valamit nem értesz, írj!