A következő sorozat monoton csökkenő vagy monoton növekvő?

Nem val'szeg fog csökkenni, hanem biztosan. Az ilyen típusú feladatokat így szokták megcsinálni:

(3n+2)/(n^2+5)

kiemelünk a számlálóból és a nevezőből is n^2-et (mindig a legnagyobb hatványt emeljük ki):

n^2(3/n+2/n^2)/(n^2(1+5/n^2), egyszerűsítünk n^2-tel: (3/n+2/n^2)/(1+5/n^2)

A számláló 0-hoz tart, mivel az c/n^k (k>0-ra) alakú kifejezés mindig 0-hoz tart. A nevező 1-hez fog tartani, így a sorozat 0/1=0-hoz fog tartani.

Általánosan: az a*(p(x)/(b*(q(x)) alakú sorozatok, ahol p(x) és q(x) normált polinomok (a főegyütthatójuk 1), akkor háromféleképpen alakulhat a határérték:

-ha p(x) együtthatója nagyobb, mint q(x) együtthatója, akkor a végtelenhez tart

-ha kisebb, akkor 0-hoz tart

-ha egyenlő, akkor a/b-hez tart (ahol b nem lehet 0, vagyis q(x) nem lehet a nullapolinom).

Indukcióval: írjuk fel n+1-re, ekkor igaz, hogy a_n>a_n-a_(n+1), vagyis a_(x+1)>0, vagyis

(3(n+1)+2)/((n+1)^2+5)>0

Mivel tetszőleges n-re mind a számláló, mind a nevező pozitív, ezért ez biztosan nagyobb 0-nál, tehát a megállapítás igaz.