Hogyan kell ennek a sorozatnak a határértéket kiszámolni?

Hát függ attól is, hogy a kitevőben mi van. Ha n^(2(5^n+6^n)), akkor ez a végtelenbe tartana.

Különben kiemelsz (6/11)^n-t, ami 0-hoz tart, a maradék meg korlátos lesz és ezért szorzatuk is 0-hoz fog tartani.

De biztos lehet még ezerféleképpen rendőrelvezni is vagy máshogy is nekiesni. A lényeg, hogy a számlálóban 6^n a meghatározó tag, a nevezőben pedig 11^n. A többi jelentéktelen, az adott kettő hányadosa pedig 0-hoz tart.

Hát igen, de ez nem precíz bizonyítás.

És hát akkor kapod, hogy:

n^2*5^n/6^n. Itt ugye pl. rendőr-elvvel: kisebb nála (5/6)^n, nagyobb: 2*(5/6)^n. Mindkettő nullához tart. Ha azt még osztod 2n+7-vel, akkor az egész 0-hoz fog tartani még inkább. Ha konvergens, akkor korlátos is. Ez pl. egy járható út, nem biztos, hogy a leggyorsabb.

Na jó, akkor egy korrekt válasz, ami talán átláthatóbb is:

Rendőr-elvvel:

Alsó becslés:

1/11^2n -> 0

Felső becslés:

n^2/2n+7 helyett legyen n (n/2n+7-t hagytunk el, ami egyértelműen kisebb 1-nél, tehát az egész nagyobb lett)

5^n helyett legyen 6^n

Akkor kaptuk, hogy 2n6^n/11^n

n helyett írjunk (3/2)^n-t.

Kapjuk: 2*(9/11)^n, ami 0-hoz tart.

Hirtelen nem látok szebb megoldást.

1) Nagyságrendek pontos ismerete. (Tudod, hogy a^n egy idő után nagyobb lesz n^k-nál, ha a>1 és k értelmes)

2) Látod, hogy a befolyásos tag 6^n/11^n, úgy kell nővelni az n-t, hogy valami egységes alak jöjjön ki (tehát valami x^n-t, hogy akkor kapd, hogy (6x/11)^n) és ezzel ne változzon meg a lényege. Az eredmény valami a^n, ami ugyanúgy viselkedik, ha a>1 (nő végtelenbe), a=1 (folyamotosan 1-es) vagy 1>a>0 (csökken 0-hoz). 6/11 a harmadikba esik bele, tehát olyan x-t akarsz, amire még 6x/11 is az legyen. Pl. 3/2 ilyen.

3) Gyakorlás. Az analízisben a becslések, az elhagyások és a megfelelő rendőrelvezések gyakorlással fognak csak menni, nincsen rájuk precíz recept.