Hogyan tudom meghatározni ennek a sorozatnak a határértékét?

Szóval ez az:

(4^n + 23^n)/(2*8^n + 2^n + 10^5)

?

Nem válaszoltál még, de úgy veszem, hogy tényleg az a sorozat. Tehát:

An = (4^n + 23^n)/(2*8^n + 2^n + 10^5)

Ránézésre az a tippje az embernek, hogy a számláló gyorsabban nől mint a nevező, ezért a határérték ∞ lesz, de ezt be kell bizonyítani.

Vegyünk egy Bn sorozatot, aminél An ≥ Bn minden n-re. Úgy érdemes venni, hogy a számlálót csökkentjük (elhagyjuk 4^n-t), a nevezőt növeljük (2^n helyett 8^n írunk).

An ≥ Bn = (23^n)/(2*8^n + 8^n + 10^5) = 23^n / (3*8^n + 10^5)

A 10^5 nem sok vizet zavar itt, a hatvány gyorsan sokkal nagyobb lesz nála, de legyünk nagyvonalúak, csináljunk egy Cn sorozatot, amiben 10^5 le van cserélve 8^n-re. n≥6 esetén 8^n már nagyobb, mint 10^5, tehát nagy n-ekre Cn kisebb lesz Bn-nél. Mivel a határértéket a végtelenben keressük, jó az, ha csak n=6-tól igaz az egyenlőtlenség (de ezt az n≥6-ot oda kell írni!) :

An ≥ Bn ≥ Cn = 23^n / (4*8^n) = 1/4·(23/8)^n

23/8 > 1, ezért ez a sorozat divergens, lim Cn = ∞

Ezért

lim An ≥ lim Cn = ∞

lim An = ∞

Miért nem írod normálisan be, próbáld már meg! Keresd meg a ^ kalapjelet a billentyűzeteden.

An = (4^n + 2^(3n))/(2*8^n + 2^n + 10^5)

2^(3n) = 2^3^n = 8^n

Emeljük ki 8^n-t a számlálóban is meg a nevezőben is:

8^n*((1/2)^n + 1) / (8^n*(2 + (1/4)^n + 10^5/8^n))

Lehet vele egyszerűsíteni

An = (1 + (1/2)^n) / (2 + (1/4)^n + 10^5*(1/8)^n)

Ez már egyszerű. Az egynél kisebb számok hatványának határértéke 0, akkor is, ha jó nagy számmal (10^5) be van szorozva. A számláló határértéke 1 tehát, a nevezőé pedig 2, szóval 1/2.