Hogy hogyan kell meghatározni ennek a sorozatnak a határértékét?

Rendőrszabály:

Ha találunk két másik (b és c) sorozatot, hogy

bn < an < cn

és lim bn = lim cn = L (egyforma)

akkor lim an = L

Most:

b sorozat: mondjuk egyszerűen minden n-re bn = 0

Ennek a határértéke természetesen 0

c sorozat:

Az eredeti sorozatban ha a számlálót növeljük, a nevezőt csökkentjük, akkor cn > an lesz.

Számláló növelése: 5·2^(n+4) + 3^(n+4) helyett 5·3^(n+4) + 3^(n+4)

ami 6·3^(n+4)

Nevező csökkentése: 2^(n+5) + 4^(n+1) helyett 4^(n+1)

ami 4^(n+4)/64

cn = 6·3^(n+4) / (4^(n+4)/64) = 6·64·(3/4)^(n+4)

Ennek a határértéke a végtelenben 0, mert 3/4 kisebb 1-nél

Vagyis lim an = 0

Vagy azt is lehet csinálni, hogy minden hatványkitevőtnél csak n-et hagyunk, majd leosztjuk a számlálót és a nevezőt is 4^n-el:

lim(5*16*2^n+81*3^n)/(32*2^n+4*4^n) =

lim[80*(2/4)^n+81*(3/4)^n]/[32*(2/4)^n+4] = (0+0)/(0+1) = 0

4 az, de végülis mindegy.

Lehet, hogy a válaszadó először 4^(n+1)-edikennel akart egyszerűsíteni, és abból maradt ott. De úgy is felfoghatód, hogy 4^n után még 4-gyel is egyszerűsített.

Tényleg jóval egyszerűbb ez, mint amit én írtam, nekem is eszembe juthatott volna :-)