Hogyan kell 1 ilyen számsorozat határértékét kiszámolni?

A sorozat a következő rekurzióval adható meg:

a_1=gyök(3),

a_{n+1}=gyök(a_n+3).

Az intuíció, ami alapján kitalálhatjuk a határértéket:

ha ez a sorozat tényleg konvergens, akkor nagyon nagy n-ekre az n-edik és (n+1)-edik tag egyaránt a határértékhez lesz nagyon közel. Szóval határértékben az n-edik és n+1-edik tag megegyezik (mégpedig mindkettő a határérték). Ezért a határértéket úgy találhatjuk ki, hogy az n-edik és n+1-edik tagot egyenlővé tesszük egymással, és erre megoldjuk az egyenletet.

Az

a_n=gyök(a_n+3)

egyenlet másodfokúra vezet, ennek csak a pozitív gyöke jöhet szóba határértékként:

(gyök(13)+1)/2.

Persze ez még csak sejtés, mert igazából azt sem tudjuk, hogy a sorozat konvergens-e. Viszont ha konvergens, akkor csakis ez lehet a határértéke.

Azt, hogy konvergens, a határérték kitalálása után már könnyen be tudjuk bizonyítani:

- a sorozatnak (gyök(13)+1)/2 felső korlátja (tehát minden tag kisebb ennél), ezt teljes indukcióval lehet ellenőrizni;

- a sorozat monoton növekvő, ezt pedig onnan lehet látni, hogy a

gyök(a_n+3)>a_n

egyenlőtlenséget a (gyök(13)+1)/2-nál kisebb összes pozitív szám (amelyek közül a sorozat tagjai kikerülnek) megoldja.

És mivel a sorozat így monoton növekvő és felülről korlátos, következik, hogy tényleg konvergens.

Teljesen laikusként írom ezt az egészet. /nem értek az analízishez/

Találtam egy ilyen képletet rá: f(x)= x /sqr(x)+1

Mindegyikre kiszámolnám. Pontosan nem tudom, hogy lehet megállapítani utána de erre tuti tanultatok valamit.

/sqr-> négyzet/

Nagyon szép az első válasz. Nem én vagyok a kérdező, de köszönöm. Egy kis közelítő ellenőrzés:

[link]