El tudná nekem valami magyarázni, miért ez az megoldása a következő matematikai feladatnak?

Azt könnyen beláthatjuk, hogy a megoldás miért rossz.

Mivel 1l víz + 49l alkohol nem 50l. A folyadékok térfogat nem additív, azaz nem adható össze. Ami összeadható az a tömeg.

Kéne az anyagok sűrűsége az eredeti megoldáshoz. Átszámolni súlyra, összeadni. Kéne tudni az oldat sűrűségét a keverés után. Ez picit bonyolultabb, minthogy egy 12-es meg tudja oldani csak úgy ezekből az adatokból. Ezért jegyezzük meg, de hanyagoljuk el ezt a tényezőt.

(Azért a kémia tanárnak is elmondhatnád, hogy matek órán ilyennek tömik a fejeteket. Majd kukkoljatok be a tanáriba, hogyan szeleteli apró darabokra a kémia tanár a matek tanárt.)

"Egy óra alatt 49/50 részére csökken a tiszta alkohol mennyisége"

Ez gondolom egyértelmű.

Ha bent van 49/50 tisztaságú alkohol ami 50 liter, majd megint eljátsszuk vele ugyan ezt megint 49/50-ed részére csökken az alkohol tisztasága mert ha elveszünk 1 litert belőle akkor az alkohol tisztaságát az nem befolyásolja csak a mennyiségét, ha kipótoljuk vízzel akkor hígítjuk.

Dehát n óra alatt (49/50) az n-ediken részére. Tisztaság 40% ami 0,4x-ese a 100%-nak, az n-t keressük (az órák számát).

Szóval TFH, "additív" a folyadékok térfogata. (leírni is fáj)

Első magyarázat:

50 "literből" kiveszünk 1-et marad 49.

Beleöntünk 1 "litert". Újra 50 lesz, de "49/50" része lesz alkohol, és "1/50" víz.

Következőre kiveszünk 1 "litert", amiben "1/50"-ed része már víz és "49/50"-ed része alkohol. "1/50ed" "liter" víz és "49/50" "liter" alkohol. Benne maradt "49/50" "liter" víz.

Bele öntünk újabb 1 "liter" vizet, összesen "99/50" "liter" víz van most benne és "50-99/50" alkohol. Ha kiszámoljuk [(50 * 50 - 99) / 50] és [99 / 50] a felállás. Most a koncentráció: (50 * 50 - 99) / 50 alkohol / 50 "liter" = 48,02 / 50 = 0,9604

49/50 * 49/50 = 0,9604

Tehát az állítás helyes. És innentől le van vezetve.

Másik magyarázat:

Van 49 l oldatunk. Bele rakunk 1 l oldószert. Ha telfesszük, hogy a folyadékok térfogata additív (ami amúgy nem igaz), akkor ilyenkor 49/50-ed részére higul az oldat. (teljesen mindegy, hogy előtte milyen koncentrációjú volt.

x oldott anyag 49 anyagban + 1 anyag oldószer = x oldott anyag 50 l anyagban.

Koncentráció: x / 49 --> x / 50. Mennyivel változott a koncentráció: Régi koncentráció / új koncentráció = változás. x/50 : x / 49 = x * 49 / x * 50 = 49 / 50

Innentől a magyarázat már a feladatban benne van.

Minden egyes "hígítással" (49/50)-ed részére "hígul" az oldat. Minden órában hígítanak.

Kérdésben az szerepel, hogy mennyi idő múlva lesz megfelelő koncentráció. Ehhez kell tudni, hogy mennyi hígítást kell végrehajtani.

1 hígítás után * (49/50)-edére hígul.

n db hígítás után (49/50) * (49/50) * (49/50) * ... * (49/50) } n db , azaz (49/50)^n (n-ediken) -re hígul.

Kezdeti értéke 1, azaz egy. Tehát 1 * (49/50)^n = 0.4 (a kívánt koncentráció).

Ebből kell kifejezni n-et, hogy tudjuk, mennyiszer kellett hígítani. Itt jön be a logaritmus. A logaritmus egy olyan bijektív függvény, amivel az egyenletek mind két oldalát ellátva az egyenlőség továbbra is fennmarad.

lg( 1 * (49/50)^n ) = lg( 0.4 ) // egyszerűsítés

lg( (49/50)^n ) = lg( 0.4 ) // logaritmus azonosságok alkalmazása: lg(a^b) = b*lg(a)

n * lg(49/50) = lg( 0.4 ) // osztunk lg(49/50) -val, mivel nem 0.

n = lg(0.4) / lg(49/50) = 45,35

Mivel n pozitív egész szám, és nekünk egy tört szám jött ki, ezért vissza kell helyettesíteni a lefele/felfele kerekített értékeket az egyenletünkbe.

(49/50)^45 = 0,4029 = 40,29%

(49/50)^46 = 0,3948 = 39,48%

nlg0,98=lg0,4 n=45,35 T