Bizonyítsd be, hogy a köv. Számok irracionálisak: ötödik gyök alatt 2. gyök 2+gyök 3?

Indirrekt módon lehet bebizonyítani őket:

Tegyük fel, hogy "ötödik gyök alatt 2" (=2^(1/5)) racionális szám. Tehát van olyan "a" és "b" egész (mely hányadosuk tovább nem egyszerűsíthető, tehát relatív primek), amelyre teljesül:

a/b=2^(1/5) /ötödik hatványra emelés

(a/b)^5=2

(a^5)/(b^5)=2 /*b^5

a^5=2b^5

Tehát a^5 páros. Éppen ezért az "a" is páros lesz. Tehát a=2k (k=Z)

Ezt berakba az elöző egyenletbe:

(2k)^5=2b^5

32k^5=2b^5

16k^5=b^5

Ez alapján b^5 is páros szám, ezért a "b" is: ellenmondás, hiszen "a" és "b" relatív primek és mindkettő páros (=tehát nem relatív primek).

A másodikhoz bebizonyítod, hogy sqrt(2) irracionális és sqrt(3) is a fentihez hasonlóan. Két irracionális szám összege irracionális.

Utolsó: két irracionális szám összege nem feltétlenül irracionális. Pl. gyök2 és -gyök2 összege 0.

gyök2+gyök3 esetén azt csinálnám indirekt feltevéssel, hogy ha

gyök2+gyök3=p/q,

(gyök2+gyök3)^2=p^2/q^2,

5+2*gyök(6)=p^2/q^2,

tehát ha gyök2+gyök3 racionális, akkor gyök6 is. Arról pedig az előbb leírt módszerrel lehet belátni, hogy nem racionális.

Viszont rosszul vezetted le:

(gyök2+gyök3)^2=p^2/q^2 /még jó

5+2*gyök(6)=p^2/q^2 /itt a^2"2ab+b^2 azonosságot használtad, tehát 2+3=5 matematikailag hibás.

(gyök3)^2-ből nem lesz 3 :)

A gyök(2) = hatodik gyök(64)

A gyök(3) = hatodik gyök(729)

Innentől ugyanúgy, mint az elöző válaszóló, csak nem négyzetre, hanem hatodik hatványra emelve.