Van-e olyan 2013-ra végződő egész szám, amely osztható 53-mal?

Nem vezetjük le. Azért kaptátok ezt a feladatot mert megtudjátok csinálni.

Biztos tanultatok oszthatósági szabályokat. 100%ig biztos vagyok benne. És akkor tudod is, hogy mikor osztható vele. /utána már csak megkell vizsgálni, hogy 2013-e a vége vagy sem/

Van, de bebizonyítanod neked kell.

Segítség: 2014 osztható 53-mal.

503252013

A fenti megoldást én a kínai maradéktétellel számoltam ki.

Van kisebb is: 282013=53*5321

Levezetés (itt = jelentse a kongruenciát):

2013=-1(mod53)

(ez ugye az, hogy -1 maradékot ad 53-mal osztva)

ezért egy négy 0-ra végződő számnak kellene 1-et adni maradékul 53-mal osztva:

10000k=1 (mod53)

mivel 10000=36 (mod53), ezért az előző kongruencia:

36k=1 (mod53)

innen ugye 53-akat szabadon adhatunk akármelyik oldalhoz, és mivel 53 prímszám, a hozzá relatív prím számokkal egyszerűsíthetünk:

36k=54 (mod 53)

18-cal ostva:

2k=3 (mod 53)

2k=56 (mod 53)

k=28 (mod 53)

ezek szerint 280000 1-et ad maradékul: 280000=53*5283+1

Tehát 282013 jó lesz.