Van a 2-nek olyan pozitív egész kitevős hatványa, amely mind a tíz számjegyből ugyanannyit tartalmaz? Van a 3-nak olyan pozitív egész kitevős hatványa, amely tízes számrendszerben legalább kétjegy, és minden jegye azonos? Hogy kell megoldani ezeket?

Az első könnyű, ha mind a 10 számjegyből van n db, akkor a számjegyek összege 45*n, vagyis ez a szám osztható 3-mal, sőt 9-el is.

De egy kettőhatványban nem lehet 3-as prímtényező, mert az 2^k alakú.

Ezért nincs ilyen.

A másiknak még nem értem a végére.

A másik sem lehetséges.

Azt állítom ugyanis, hogy a 3 hatványok utolsó számjegye páratlan (ez triviális), VISZONT az utolsó előtti mindig páros. ÍGy az utolsó két számjegy sem lehet azonos.

Indoklás:

A 3 hatványainak utolsó számjegye csak páratlan lehet és nem lehet 5.

Tekintsük az első néhány 3 hatványt:

3; 9; 27; 81; 243; 729; ...

Innen pl. a 729 háromszorosában az utolsó számjegy 3-szorosa 27, a tízesek helyén álló számjegy pedig páros marad, amihez a 27-es 2-ese adódik hozzá, így páros is marad: 2187.

Jól látszik, hogy azon múlik a dolog, hogy a négy lehetséges utolsó számjegy 3-szorosában páros szám áll-e a tízesek helyén:

3*1=3; 3*3=9; 3*7=21; 3*9=27

Látható, hogy igaz, tehát a tízesek helyén mindig páros szám áll majd.

Én így csináltam meg a 2-est, kicsit bonyolultabb, de talán tanulságos lesz ezt is megnézni:

A három hatványok utolsó számjegye: 1,3,9,7,1,3,9,7, stb.

Vagyis ha van ilyen szám, akkor 1,3,7 vagy 9-es számjegyből állhat.

Legyen a szám aaa...aaa

Ha páros számjegyből áll, akkor biztosan osztható 11-el, gondolom érthető, miért

aa=11*a

aaaa=11*(a0a) stb.

Ez nem jó, mert egy 3 hatványban nem lehet 11-es prímtényező.

Ha páratlan számjegyből áll

aaa

aaaaa

111=3*37 ezért a szám nem állhat 3-mal osztható számjegyből sem.

Ha nem 3-al osztható a számjegyek száma, akkor

33..33

99..99 lehet csak.

Mivel egy 3 hatvány számjegyei összege mindig osztható 3-mal, sőt ha 9-nél nagyobb, akkor 9-el is :)

Ha

3^x=33...333, akkor 3-al osztva mindkét oldalt.

3^(x-1)=11...111

A fentiek miatt ez nem lehetséges.

Ha

3^x=99...999, akkor 9-el osztva

3^(x-2)=11...111

Ismét ellentmondásra jutottunk, vagyis nincs ilyen szám.