Egy egész számnak két prímosztója van. Osztóinak száma 6, osztóinak összege 28. Melyik ez a szám?

Ha kicsit körülnéztél volna, megtaláltad volna a segítséget!

Okt. 25-én volt "Mi lehet ennek a megoldása?" kérdéssel:

Természetes szám (pozitív egész szám) esetén egyszerű!

Próbálgatás módszerével könnyen kijön, hogy a 12-ről van szó.

Ha egy számnak két prímosztója van (jelöljük a-val és b-vel), és a szám a két prím szorzata, akkor a szám osztói:

1, a, b, a*b

Ez csak négy darab, tehát nem jó.

Ha a szám az egyik prím szorozva a másik prím négyzetével, akkor az osztói:

1, a, b, b*b, a*b, a*b*b

ez 6, tehát a szám lehet a*b*b alakú.

Továbbgondolva látható, hogy nem lesz további eset, ha a két prímszámot magasabb hatványra emeljük, akkor osztók száma több lesz hatnál.

Tehát: 1 + a + b + b*b + a*b + a*b*b = 28

és innen már próbálgatással könnyen kijön.

A b-vel jelölt osztó nem lehet 3, vagy annál nagyobb, mert

b + b*b + a*b + a*b*b = 3 + 3*3 + a*3 + a*3*3 = 3*( 1 + 3 + a + a*3) = 3*(4+4*a) = 3*4*(1+a) = 12*(1+a)

Mivel a legkisebb prímszám 2, ezért 1+a = 3, vagyis 12*(1+a) = 12 * 3 = 36. Pedig 27-nél kevesebbet kellett volna kapnunk.

Tehát b = 2

Ezt beírva:

1 + a + 2 + 2*2 + a*2 + a*2*2 = 28

a + a*2 + a*2*2 = 21

a*(1 + 2 + 4) = 21

a * 7 = 21

a =3

Egész számokra ezek után még könnyebben, kijön, hogy nincs megoldás.

Ugyanis egy egész számnak osztóinak (-1)-szeresével is osztható az egész szám.

Például, ha egy számnak két pozitív prímosztója van (jelöljük a-val és b-vel), akkor a szám osztói:

+1, -1, +a, -a, +b, -b, +a*b , -a*b

Ezek összege viszont sosem lesz 28, mert mindig 0.