Megoldhatatlan (de megoldható) másodfokú?

Ez így csalás XD

Egyébként szerintem ez nem középiskolai szint azért nem tudjátok megoldani :)

amikor eltünteted a gyököt a bal oldalon létrejön egy azonosság, ezt még észreveheted, megoldhatod, de így kialakul egy 4. fokú egyenlet, ez már eléggé főiskolai szintnek tűnik. Mondjuk két képletbe behelyettesítesz és kész, de akkor is :D

[link]

felíros úgy ahogy itt van, és a legfelső két egyeneltbe behelyetteasítve kapod az eredményeket

Egyébként ennek nem 4 gyöke kellene hogy legyen? lusta vagyok kiszámolni, csak úgy tűnik logikusnak

Mindenesetre 2 megjegyzés:

1. a matektanárok szeretnek blöffölni -> összesen 2 matektanár vana suliban? :P

2. jóhogy megoldhatatlan ha nem tanítja hozzá a képletet amivel megoldhatod XD ennyi erővel egy sima differenciále gyenlet is megoldhatatlan

Valóban negyedfokú egyenletre vezet a feladat, de ennek a negyedfokú egyenletet most két megoldását ki lehet találni.

Vegyük észre ugyanis, ha az egyenlet bal oldala

f(x)=x^2-5,

akkor a jobb oldalon éppen az f függvény inverze áll.

Ha f(x)=x, akkor nyilván x=f^{-1}(x) is teljesül, tehát ilyenkor a két oldal egyenlő. (Szemléletesen: az egyik oldal éppen a "fordítottját" csinálja minden számmal, mint a másik oldal. Tehát ha az egyik oldal nem változtatja meg az x számot, akkor a másik sem, és így a két oldal egyenlő lesz.)

Szóval az

x^2-5=x,

azaz az

x^2-x-5=0

egyenlet gyökei (közül az, amelyre x+5>=0 és x^2-5>=0 teljesül) megoldják a feladatot.

Ha most elvégezzük az átalakítást, ahogy az előző válaszoló leírta, akkor az

x^4-10x^2-x+20=0

negyedfokú egyenlethez jutunk.

Igen ám, de azt tudjuk, hogy x^2-x-5=0 gyökei megoldások. Tehát akkor a bal oldalt szorzattá lehet úgy alakítani, hogy az egyik szorzótényező x^2-x-5 lesz.

Innen a másik tényezőt is meg lehet könnyen találni, ami szintén másodfokú kell, hogy legyen. Mivel x^4 csak a másodfokú tagok szorzataként, 20 pedig csak a konstans tagok szorzataként áll elő, a másik szorzótényező

(x^2+Ax-4) alakú.

Szóval

x^4-10x^2-x+20 = (x^2-x-5)*(x^2+Ax-4).

Ha a jobb oldalon elvégezzük a szorzást, akkor

x^4+(-1+A)x^3+(-5-A-4)x^2+(-5A+4)x+20

adódik.

Tehát

-1+A=0,

-5-A-4=-10,

-5A+4=-1;

A=1 mindhárom egyenletet kielégíti.

Így a negyedfokú kifejezésünket szorzattá alakítottuk: az

(x^2-x-5)*(x^2+x-4)=0

egyenletet kell megoldanunk.

A szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényező 0; tehát két másodfokú egyenlethez jutunk, ezeknek összesen 4 gyöke van. Nekünk csak azok felelnek meg, amik eleget tesznek az eredeti egyenletből adódó

x+5>=0 és x^2-5>=0

feltételeknek is; ez éppen az első válaszolónál szereplő két gyök.

Akkor szépségverseny:

Az x^2 - 5 egy parabola egyenlete, és a gyök(x+5) egy fél paraboláé, egészítsük ki őket, és keressük a közös pontjaikat (aztán a végén a majd elhagyjuk az x-tengely alattiakat).

(1) x^2 - 5 = y,

(2) y^2 = x + 5.

(1)-(2) x^2 - y^2 = y-x,

(x+y)*(x-y) + x-y = (x+y+1)*(x-y) = 0.

Egy szorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, így y helyére (1) alapján helyettesítve

y + x + 1 = x^2 - 5 + x + 1 = x^2 + x - 4 --> x12 = -1/2 +- gyök(17)/2 (a mínuszos gyök nem lesz jó),

illetve

x - y = x - x^2 + 5 = 0 --> x34 = 1/2 +- gyök(21)/2 (a mínuszos ismét nem jó).

Nos?

*Az első bekezdés pontosabb úgy, hogy

Az x^2 - 5 és a gyök(x+5) függvények képe egy parabola és egy fél parabola. Egészítsük ki őket, írjuk fel az egyenletüket, és keressük meg a közös pontjaikat. (Az x-tengely alattiak nyilván nem lesznek jók.)

**Még azt is elrontottam, hogy az y+x+1 = 0-nál a pluszos nem jó…

De attól még ismerjétek el, hogy szép!

Matek feladatból szépségverseny lett egy nap alatt :D

Máris tied a pont 5. gratulálok !

Na, lehet még tovább menni? :P