Hogy kell kiszámítani egy derékszögű háromszög másik két oldalát? Fontos

[link]

A mellékelt ábrán a D pontot úgy vettem fel, hogy az ABD szög 15 fokos legyen.

Ekkor a DBC szög 60 fokos. A DCB háromszög egy szabályos háromszög fele, ezért ha a BC oldal hossza a, akkor BD hossza 2a, így a Pitagorasz-tétel miatt DC hossza a*gyök(3).

Mivel ADB két szöge egyenlő nagyságú, ezért egyenlő szárú háromszög. Ha tehát BD hossza 2a, akkor AD hossza is 2a.

Tehát a nagy háromszög befogói a, a*gyök(3)+2a, az átfogó pedig 10.

Innen a Pitagorasz-tétel miatt

a^2+a^2(gyök(3)+2)^2=100.

Ezt a^2-re megoldva megkapod az egyik befogót, a másik befogó pedig ennek a (gyök(3)+2)-szerese.

Reméltem, hogy innen már ki tudod számolni.

a=5/(gyök(2+gyök3)),

a másik befogó pedig 5*(gyök(2+gyök3)).

a^2+a^2(gyök(3)+2)^2=100

Elvégezzünk a négyzetre emelést a bal oldalon:

a^2+a^2(3+4gyök3+4)=100.

Kiemelünk a bal oldalon a^2-et:

a^2(1+3+4gyök3+4)=100,

a^2(8+4gyök3)=100,

a^2=100/(8+4gyök3).

A jobb oldalt egyszerűsítjük 4-gyel:

a^2=25/(2+gyök3).

Elvégezük a gyökvonást (nyilván csak a pozitív gyök jöhet szóba):

a=5/gyök(2+gyök3).

A kapott eredményt kicsit más formában is fel lehet írni.

Ugyanis

2+gyök3=(4+2gyök3)/2=(gyök3+1)^2/2,

tehát

5/gyök(2+gyök3)=

=5/((gyök3+1)/gyök2)=

=5gyök2/(gyök3+1)=

=5gyök2(gyök3-1)/(3-1)=

=5/2*gyök2*(gyök3-1).

Ha szögfüggvényekkel számolunk, ugyanezt kapjuk.

Ugyanis nyilván a=cos75*10. Ekkor

cos75=cos(45+30)=cos45*cos30-sin45*sin30=

=gyök2/2*gyök3/2-gyök2/2*1/2=

=gyök2/4*(gyök3-1),

ennek a 10-szerese pedig éppen az, amit az én módszeremmel kaptunk.