Parabola tengelymetszetei köré írható körnek hol a másik metszés pontja az y tengellyel?

Legyenk a parabola metszetei az x-tengellyel

A(x1,0), B(x2,0) (itt x1 és x2 a megoldóképlettel számolható).

A parabola metszete az y-tengellyel

C(0,c) (ezt x=0 helyettesítésével kapjuk).

Legyen a kör és az y-tengely másik metszéspontja

D(0,d).

Ekkor a körülírt kör középpontja AB és CD felezőmerőlegeseinek metszéspontja.

AB felezőmerőlegese x=-b/(2a),

CD felezőmerőlegese y=(c+d)/2.

A metszéspontjuk

O(-b/(2a),(c+d)/2).

A kör egyenlete tehát

(x+b/(2a))^2+(y-(c+d)/2)^2=r^2

alakú.

Mivel C(0,c) rajta van a körön, innen

r^2=b^2/(4a^2)+((c+d)/2-c)^2=b^2/(4a^2)+(d-c)^2/4,

vagyis a kör egyenlete

(x+b/(2a))^2+(y-(c+d)/2)^2=b^2/(4a^2)+(d-c)^2/4.

Ezen a körön rajta van

A(x1,0)

is, vagyis

A((-b+gyök(b^2+4ac))/2a,0).

Ezt behelyettesítjük a kör egyenletébe:

(b^2-4ac)(4a^2)+(c+d)^2/4=b^2/(4a^2)+(d-c)^2/4,

-c/a+cd/2=-cd/2,

cd=c/a,

d=1/a

adódik.

Tehát a keresett metszéspont:

D(0,1/a).

Egy másik megoldás:

Legyenek a parabola x-tengellyel való metszéspontjai: A,B, Az y tengellyel való metszéspontja C, És a körülírt kör másik metszéspontja az y tengellyel C

Az Origóból felírva pont körre vonatkozó hatványát:

OA*OB = OC*OD

A parabola gyökei:

(-b±√(b²-4ac))/2a

C=(0,c)

vagyis akkor

(-b+√(b²-4ac))/2a*(-b-√(b²-4ac))/2a = c*OD

4ac/4a² = c* OD

OD= 1/a

D = (0,1/a)

BKRS:

Szép megoldás, és egy picit még tovább lehet egyszerűsíteni rajta. Hiszen

OA*OB=OC*OD

felírása után észrevehetjük, hogy OA*OB, a gyökök szorzata, mindig c/a-val egyenlő. (Tehát nem kell a megoldóképletbe sem helyettesíteni.)

Innen

c/a=c*d,

azaz

d=1/a.