Hogy kell levezetni ennek az egyenletnek megoldását?

Nem hiszem, hogy ez a grafikus megoldás a kérdezőt boldogítja:

[link]

Az ilyen tipusú egyenleteket ún. nemlineáris egyenletnek mondjuk.

Megoldásuk numerikus módszerekkel lehetséges, ilyen sok van, pl. intervallum felezési-módszer, húrmódszer, Bunyakovszkij-eljárás, stb.

Nem tudom, milyen szinten állsz ezekkel, legegyszerűbb talán az intervallum felezési-módszer.

0-ra redukáljuk az egyenltet:

2^x + x - 5 = 0

Azt látjuk hogy a megoldás 2 körül van, erről behelyettesítéssel meggyőződünk, legyen tehát x1=2.

Az egész egyenlet bal oldalát jelölje f(x):

f(x1=2)=1

Most látjuk, hogy x értékét csökkentenünk kell, legyen x2=1.5:

f(x2=1.5)=-0.67

Most az x1 és x2 közötti különbséget felezzük, és a közé eső számmal próbálkozunk (innen az eljárás neve):

Ez: x3=1.75:

f(x3=1.75)=0.11

Most látjuk, hogy csökkenteni kell x értékét, a módszer elve alapján x4 épp 1.5 és 1.75 közötti érték (ha úgy tetszik számtani átlaga):

x4=1.625

f(x4=1.625)=-0.29

Hasonlóképp, addig ismételjük az eljárást, amig a tetszőleges pontosságot el nem érjük:

f(x5=1.6875)=-0.09

f(x6=1.71875)=0.01

f(x7=1.7031)=-0.04

Látható, hogy az eljárás hosszadalmas, sok számolást igényel, az utolsó két közelítésre most lineáris interpolációt alkalmazunk:

Kiszámítjuk f(x7)-f(x6) különbséget, ez = 0.05.

Utána az x6-x7 különbséget, ez: 0.01565.

Ez utóbbi értéket most 5 felé kell osztanunk, ez az érték:

0.00313

Majd ezzel az értékkel csökkentem x6-ot:

X=x6-0.00313=1.71562

Tehát a megoldás, 5 tizedesjegy pontossággal:

X=1.71562

tegyük fel hogy csak elírtad és az x^2 + x = 5

na akkor

x^2 + x = 5 /-5

x^2 + x - 5 = 0

és erre fel lehet írni a másodfokú képletet, ami:

( -b+-sqrt(b^2 - 4ab ) ) / 2*a

vagyis

(-1 +- sqrt( 1 - 4*1*5 ) ) / 2

de mivel a diszkrimináns negatív ( a b^2 - 4ab ( azért negatív mert 1 - 20 az -19 ) ) ezért nincsen megoldása. :)

Vagy pl. Taylor sorfejtéssel is közelíthető, pl. 2^x-et 1.5 körüli sorba fejtve:

2^x~=2.828+1.96x+0.678x^2+x=5

Így az eredeti egyenlet az x irányban 1.5-el eltolt koordinátarendszerben:

0.678x^2+2.96-0.67=0.

Megoldásai: x1*=0.2157; és x2*=-4.58.

Így X=1.5+x1*=1.7157.

(A másik X=-3.08, de ellentmondás!).

Tehát ezzel a módszerrel x=1.7157.

Látható, hogy az eltérés csak 1 tízezred, ez a polinommal való közelítés hibája.

2^(e-1) + e-1 = 5,0

Amúgy numerikuson kívül más megoldás nemigen van.

Ha mondjuk pont érintő lenne az x-5 egyenes az jó lenne.

Vagy ha 2^x +x = 6 lenne a keresett dolog akkor a 6=4+2 egy alkalmas felbontás lenne.

A kérdésednél viszont nem látom mi lenne a speciális eset ami a numerikuson kívül adna valami megoldást. Ha nem leene ott az extra konstans vagy ha szorzat lenne akkor legalább egy Lambert függvényes megoldás lehetne, így azonban az se megy.