Negyedfokú polinom gyökeivel kellene segítség (? )

A feltétel szerint F két olyan másodfokú polinom szorzata, melyeknek megegyezik a gyökeinek az összege. Mivel F főegyütthatója 1, ezért a másodfokú polinomok főegyütthatói is 1-nek választhatóak.

Tehát

F(x)=(x^2+sx+t)(x^2+ux+v),

valamilyen s,t,u,v valós számok esetén.

Az első polinom gyökeinek összege -s, a második gyökeinek összege -u, mivel ezek megegyeznek, s=u következik. Szóval

F(x)=(x^2+sx+t)(x^2+sx+v).

Elvégezve a szorzást:

F(x)=x^4+2sx^2+(s^2+t+v)x^2+(st+sv)x+(t+v).

Ezt összevetjük F definíciójával, innen:

2s=a,

s^2+t+v=b,

st+sv=c,

t+v=d.

Tehát

a^3-4ab+8c=8s^3-8s(s^2+t+v)+8(st+sv)=0

valóban teljesül.