Segítene nekem valaki segíteni egy differenciál egyenletben?

Ebben az egyenletben az ismeretlen függvény deriváltja egyenesen arányos az ismeretlen függvénnyel. -> biztos, hogy exponenciális fv.

Ebből következik, hogy az ismeretlen függvény felírható e^(kx) alakban, ahol k konstans. Első derivált: k*e^(kx), második derivált: (k^2)*e^(kx).

Behelyettesítjük az egyenletünkbe:

(k^2)e^(kx) - 6k*e^(kx) + 5*e^(kx) = 0

Az exponenciális fv. sosem vesz fel 0 értéket, ezért oszthatjuk vele mindkét oldalt.

(k^2) - 6k + 5 = 0

k-ra nézve másodfokú egyenlet, megoldóképlettel megoldjuk:

k1 = 1; k2 = 5

A két függvény: e^x és e^(5x).

Ha két függvény kielégíti ugyanannak a diff. egyenletnek a megoldását, akkor a két függvény összege is kielégíti, vagyis a diff. egyenlet megoldása:

y(x) = e^x + e^(5x)

Majdnem jó a megoldás! Annyi kell még hozzá, hogy tetszőleges C és D konstansokkal vett lineáris kombináció is megoldás. Szóval a megoldások általános alakja:

y(x) = C·e^x + D·e^(5x)