"Határozzuk meg az (. ) függvények első és másodrendű parciális deriváltjait, és ellenőrizzük a D1D2f = D2D1f egyenlőségeket! " De mi az a D1D2f = D2D1f, hogy számolom ki?

Gondolom ∂₁∂₂f és ∂₂∂₁f akar lenni, vagy valami olyasmi.

Azt jelenti, hogy deriválod először az első változó szerint, utána meg a parciális deriváltat tovább deriválod a második szerint, és mindegy, hogy milyen sorendben csinálod ezeket, a kettős derivált ugyanaz lesz a végén.

Az f függvényt először deriválod x szerint. Kapsz egy újabb függvényt. Ezt y szerint deriválod. Kapsz ezután is valamit. Ennek a valaminek kell egyenlőnek lennie azzal, hogy ha fordítva végzed el a deriválásokat. Pl.:

f(x,y) = sin(x)*cos(y)

x szerint deriválva parciálisan: cos(x)*cos(y)

Ezt deriválod most y szerint: -cos(x)*sin(y)

Ha fordítva csinálod, akkor ez a sorrend:

sin(x)*cos(y) -> -sin(x)*cos(y) -> -cos(x)*cos(y)

Vagyis ugyanazt kaptuk.

Ez általában is így van.

Nem. Az a parciális deriváltakat akarja jelölni.

D1D2f: először a 2. majd az 1. változó szerint deriválsz.

D2D1f: először az 1. majd a 2. változó szerint deriválsz.

Sokféleképpen szokták jelölni a parciális deriválást:

∂₁f

∂f/∂x

∂xf

f'x

Az utolsó két esetben az x az alsó indexben van, de nem tudok olyat írni itt... De, mégis tudok:

∂ₓf

f'ₓ

Ez mind ugyanazt jelenti. Te ezt D1f-nek írtad.

Ha egymás után kétszer van paricális deriválás az első változó szerint, az ezt jelentené:

Az első deriválás eredménye egy újabb függvény:

g = ∂₁f

A második eredménye pedig egy harmadik függvény:

h = ∂₁g = ∂₁(∂₁f)

amit simán lehet zárójel nélkül is írni:

h = ∂₁∂₁f

szóal nincs is szorzás...

Ha két változó van, akkor 4 féle dupla deriválást lehet csinálni:

∂₁∂₁f - mindkétszer x szerint

∂₂∂₂f - mindkétszer y szerint

∂₂∂₁f - először x, aztán y szerint

∂₁∂₂f - először y, aztán x szerint

Az utolsó kettőnek ugyanaz az eredménye.