Ellipszis területe polárkoordinátára való áttérésre és integrálással?

Ha x-y koordináta rendszerben számolunk területet, akkor simán ∫∫..dxdy integrálás adja az eredményt. Itt a dx·dy szorzat egy elemi négyzet területe. Viszont ha átváltunk polár koordináta rendszerbe (vagy bármi másba), akkor a koordináták r és α, az elemi terület pedig dr·dα (ami nem is négyzet, de nem baj). Egy egységnyi drdα viszont nem ugyanakkora, mint egy egységnyi dxdy. A kettejük arányát éppen a Jacobi determináns mutatja meg.

Most a φ függvény egy koordináta transzformáció, ami az (r,α) rendszerből (x,y) rendszerbe tesz át egy pontot. Ellipszis meg úgy lesz belőle, hogy az r megy 0 és 1 között mindenhol, miközben az α végigsöpör 0 és 2π között. Ez az ellipszis teljes területét be fogja pásztázni, nem csak a kerületet.

A Jacobi mátrixban a transzformáció két függvényének (x és y fűggvények) az r és α szerinti deriváltjai vannak. Ezek végülis megadják, hogy milyen meredeken változik mondjuk az x akkor, ha r-et változtatjuk. A mátrix determinánsa pedig megadja a területek/térfogatok arányát.

Most éppen a determináns 6r, vagyis a térfogatok aránya az r-től is függ, de az α-tól nem.

Na most terület úgy lesz, hogy összeszámoljuk a drdα elemi területeket. Persze szumma helyett integrállal. Amit pedig összeszámolunk, az az 1, vagyis az 1-et kell integrálni, szóval ilyesmi: ∫∫ 1 drdα

Azért csak ilyesmi, mert a terület-arányokat is figyelembe kell venni, vagyis drdα helyett 6r·drdα kell az integrálba, az felel meg a dxdy-nak.

Nézzünk egy egyszerűbb példát nem polárban, hanem simán xy-ban. Egy 3 széles 2 magas téglalap területét akarjuk kiszámolni integrálással. Felbontjuk dxdy méretű elemi négyzetekbe, és ezeket számláljuk meg:

∫∫ 1 dxdy

Az integrálás x szerint 0 és 3 között (belső), y szerint 0 és 2 között megy (külső integrál). Ha kiszámolod, az eredmény pont 6 lesz, ahogy várható is.

Még egy megjegyzés: A képen a megoldás második sorában nem α, hanem φ szerepel. Ez valójában α kellene legyen, szóval ennek semmi köze a φ függvényhez! Csak a polárkoordinátákat r,φ-nek szokták igaziból nevezni, nem r,α-nak, ezért állt rá erre a megoldó keze.