(MATEK) - Laurent sor megoldása?

Kíváncsi vagyyok mi a recept.

Z0=0 esetén a sorbafejtés:

(z-1)/(z²+1) = (z-1)/(z-i)(z+i) =

=0.5/(z-i) + 0.5/(z+i)=

=(i/2) * 1/(1-iz) - (i/2) * 1/(1-(-iz)) =

=(i/2) Σ(iz)^n - (i/2)* Σ(-iz)^n =

=(i/2) * Σ(i^n-(-i)^n)*z^n

Res = 0

Nyilván ha |Z0-i|>1 vagy |Z0+i| >1 akkor Res=0 a |z-Z0|<1 nyílt körlapon, mivel nincs benne szingularitás, a körintegrál 0.

Ha meg -i vagy +i -hez egységnyi távnál közlebb van, akkor 1/2 lesz, mivel egy körintegrál értéke nem változik ha a körbezárt szingularitások nem változnak.

BKRS, elszámoltad a parciális törtekre bontást.

És a feladatban ha jól látom z₀=i van, nem 0 körül kell sorba fejteni.

Szóval a parciális törtek ezek lesznek:

A/(z-i) + B/(z+i)

A = (i+1)/2

B = -(i-1)/2

(nem magyarázom, ugye megy)

f(z) = (i+1)/2 · 1/(z-i) - (i-1)/2 · 1/(z+i)

Az első tag az éppen a (z-i)^(-1)-es tag, vagyis a reziduum (i+1)/2

Más negatív kitevőjű nincs is, a második tagból pozitív kitevőjűek lesznek. Nézzük: Próbáljuk olyan alakra hozni, hogy ez legyen benne:

1/(1 - a(z-i))

Ugyanis ez egy mértani sor összege: Σ aⁿ·(z-i)ⁿ

1/(z+i) = 1/((z-i)+2i) = 1/(2i) · 1/((z-i)/(2i) + 1)

huha, egyre több zárójel kell...

= 1/(2i) · 1/(1 - (z-i)/(-2i))

így is jó, hogy osztva van -2i-vel, de bevihetjük az i-t a számlálóba:

= 1/(2i) · 1/(1 - (i/2)·(z-i))

f(z) = (i+1)/2 · (z-i)^(-1) - (i-1)/(4i) · Σ (i/2)ⁿ·(z-i)ⁿ

A szumma n=0-tól ∞-ig megy.

A Taylor-sor felírása megy? Mert ha igen, akkor egy "recept" lehet a következő:

1. Megpróbáljuk a függvényt g(z)/(z-z0) alakúra hozni, ahol g(z) már reguláris z0-ban.

Ezt most a következő módon tehetjük meg:

(z-1)/(z^2+1)=(z-1)/((z+i)(z-i))=

((z-1)/(z+i))/(z-i).

Tehát most g(z)=(z-1)/(z+i).

2. g(z)-nek felírjuk a z0=i körüli Taylor-sorát.

A Taylor-sor, ha nem számoltam el, akkor úgy néz most ki, hogy a 0. tagja (i+1)/2, azt követően (n=1...végtelen)

Σ(1-i)/2*(i/2)^n*(z-i)^n

3. Ezt a Taylor-sort tagonként elosztjuk (z-i)-vel, és megkapjuk a Laurent-sort.

Tehát a reziduum tényleg (i+1)/2, hiszen a Taylor-sor nulladik tagját (z-i)-vel elosztva kapjuk meg (z-i)^(-1) együtthatóját.