Egy háromszög oldalainak felezőpontjai: D ( -2;1) E (1;-2) F (2;2). Határozzuk meg a háromszög csúcspontjainak a koordinátáit a szögeit és a területét! Valaki?

Nagyon sokféle megoldás lehet. Egy rajz sok ötletet adhat:

[link]

(egyenlő-szárú, kis háromszög területe negyede a nagynak, stb.) Az eredményeidet is ellenőrizheted.

Ja, szóval az alapok hiányoznak. Vao.

Tehát, mint mondtam, D és E pontokra illeszkedő egyenes normálvektora megegyezik az F pontra illeszkedő oldalegyenes normálvektorával, mert párhuzamosak egymással. A DE vektor az egyenesek irányvektora: DE(1-(-2);-2-1), azaz DE(3;-3). Ebből 90°-os forgatással kapunk normálvektort: n(3;3). A normálvektoros egyenesegyenletbe behelyettesítve ezt a vektort, valamint az F(2;2) pont koordinátáit, ezt kapjuk: 3x+3y=3*2+3*2, azaz 3x+3y=12. Ez a c oldal egyenesének egyenlete.

A D és F pontokra illeszkedő egyenes normálvektora hasonlóan az E pontra illeszkedő oldalegyenes normálvektorával egyezik meg, hiszen ezek is párhuzamosak. A DF vektor ezek irányvektora: DF(2-(-2);2-1), azaz DF(0;1). Ebből 90°-os forgatással a normálvektor: n(1;0). Ezzel és E(1;-2) ponttal: 1x+0y=1*1+0*(-2), azaz x=1 a b oldal egyenese (ez az y tengellyel párhuzamos).

Az A csúcs ennek a két egyenesnek a metszéspontja. Metszéspontot úgy számolunk, hogy a két egyenes egyenletéből álló egyenletrendszert megoldjuk. Jelen esetben:

(1) 3x+3y=12

(2) x=1

x=1-et behelyettesítjük az (1) egyenletbe:

3*1+3y=12

3+3y=12

3y=9

y=3

Az egyenletrendszer megoldása: x=1 y=3, azaz a metszéspont A(1;3).

Ennek nyomán elméletileg már meg tudod csinálni a másik két pontot is.